Similitude indirecte et points fixes...

[letudian]

Bonsoir,

Je suis en TS et je révise ma spé, et me voila confronté à une petite difficulté...la voici:

z'=((-3-4i)/5)("z bar")+(38-6i)/5
Question: déterminer l'ensemble des points invariants.

Je procède ainsi
- z'=z ce qui donne z=((-3-4i)/5)("z bar")+(38-6i)/5 (1)
et ensuite, je conjugue la ligne ci-dessus, ce qui donne
-(z bar")=((-3+4i)/5)(z)+(38+6i)/5 (2)
Et pour terminer, je remplace ("z bar") de (1) avec l'expression de (2).
Le problème c'est que je trouve un résultat impossible...

Ou est mon erreur?
Merci d'avance!

[cricri130189]

Cela me parait juste ton raisonnement

[letudian]

Pourtant il semblerait qu'il y ait une erreur! :mur:

[yos]

Bonjour.
Ca peut vouloir dire qu'il n'y a pas de point fixe.
J'ai pas fait les calculs, mais je vois que |a|=1, ce qui fait que ta similitude est une isométrie (antidéplacement), donc une symétrie glissée ou une symétrie tout court. Le premier cas n'a pas d'invariant.

Ta méthode pose un autre problème sur lequel je m'étendrai pas, mais je te conseille, pour les sim indirectes de poser z=x+yi, puis de séparer les parties réelles et imaginaires dans l'égalité fournie par z'=z.

[letudian]

J'aurais peut etre dû préciser qu'il s'agit d'une transformation f=t o s avec t une translation et s une symétrie d'axe (ab), et qu'il nous a été demandé de justifier que f est un antidéplacement.

Avec la première méthode, je trouve 0= 95/25 - 192i/25
Avec la 2e méthode (z=x+iy), je trouve 0=-25

Il semblerait donc qu'il n'y ait pas de points fixes...?
Cela m'amène à vous demander si, lorsque qu'une similitude direct ou indirect n'a pas de point fixe, je suis censé trouvé un résultat "impossible"? Aussi si j'avais trouvé un résultat du type "0=0", qu'est-ce que cela voudrait dire?

Merci! :)

[yos]

Donc pas de point fixe. On a affaire à une symétrie glissée f=tos=sot, où le vecteur de t dirige l'axe de s.
On obtient t en remarquant que fof=(tos)o(sot)=to(sos)ot=tot.
Ainsi en calculant fof analytiquement, tu trouveras une écriture complexe genre z'=z+b et t est donc la translation de vecteur d'affixe b/2.
Ensuite on cherche s, par exemple en écrivant .

Mais sans indication, c'est hors programme, alorts regarde bien ton énoncé. Est-ce qu'il ne te suggère pas une méthode? Autre possibilité : le même exo a été traité en cours. De toute façon, les suggestions précédentes, tu peux difficilement les inventer tout seul.

[letudian]

C'est un exercice d'annales! (annales sujets non corrigés nathan bac 2007, numéro 149)

En tout cas merci pour l'aide! :++:

[yos]

C'est bien ce que je disais : les questions 3 et 4 détaillent tout.