Résoudre une équation trigonométrique

[Legolas2mars]

Bonjour tout le monde, j'aurai besoin de votre car je ne comprends pas une notion pour résoudre une équation en trigonométrie. Merci par avance !

Voici l'équation à résoudre : cos(2pi)+sin(x+ pi/3)=0 avec x un angle du 2ème quadrant.

D'où : cos(2pi) = - sin(x+ pi/3)

Je me base sur formule suivante : cos x = cos x pour trouver ensuite le x.
Il faut donc transformer sin(x+ pi/3) en cos, et c'est là que je bloque. Il existe deux façons de passer du sin au cos et je ne sais pas quelle formule choisir.
On a soit : sin x = cos (pi/2 - x)
ou encore : sin x = - cos (pi/2 + x).

Donc avec sin x = cos (pi/2 - x, on a sin(x+ pi/3) = cos (pi/2 - (x+ pi/3)) = cos (pi/6 - x)
ou alors avec sin x = - cos (pi/2 + x), on a sin(x+ pi/3) = - cos (pi/2 + (x+ pi/3)) = - cos (5pi/6 + x).

Comme je ne savais pas laquelle choisir, j'ai testé avec les deux et celle que j'ai gardé est celle qui permet d'annuler le "moins" devant le sinus pour respecter la formule cos x = cos x. Est-ce que c'est le raisonnement à avoir ?
Donc je garde la formule sin(x+ pi/3)= - cos (5pi/6 + x) d'où :
cos(2pi) = - sin(x+ pi/3)
cos(2pi)= - (- cos (5pi/6 + x))
cos(2pi)= cos (5pi/6 +x )

J'obtiens x= 5pi/6 +2kpi et x= -5pi/18 + 2kpi/3. Mais pour la solution je bloque aussi, on sait que l'angle x est situé dans le 2ème quadrant, donc cos est négatif non ? donc ça serait x= -5pi/18 + 2kpi/3 ?

Merci pour votre aide.

[lyceen95]

Comme je ne savais pas laquelle choisir, j'ai testé avec les deux et celle que j'ai gardé est celle qui permet d'annuler le "moins" devant le sinus pour respecter la formule cos x = cos x. Est-ce que c'est le raisonnement à avoir ?

Oui , Bien sûr, puisque tu veux aboutir à un truc du genre cos(x) = cos(y) ( parenthèse : y... pas x , si tu mets la même chose des 2 cotéés du signe =, ça ne va pas mener très loin).

Mais ici, il y a peut-être un chemin plus court.
On sait que cos(2 Pi) = 1
Donc con cherche x tel que sin(x+pi/3) = -1 ... et sauf erreur de ma part, je trouve comme toi : il n'y a pas de solution x avec x dans le 2ème quadrant.

Donc là, 3 options :
-1- il y a une coquille dans l'énoncé
-2- tu as fait une erreur en recopiant l'énoncé
-3- c'est l'énoncé correct, et la réponse à la question est: Il n'y a pas de valeur x dans le 2nd quadrant qui vérifie l'équation.
C'est un peu inhabituel comme exercice, mais c'est tout à fait possible. On demande toutes les valeurs de x qui conviennent, il peut y avoir 1 ou plusieurs valeurs de x qui conviennent, mais il peut aussi y en avoir aucune.

[mehdi-128]

Salut.



Il suffit de résoudre

Ce qui donne ou

Soit ou

(J'ai rajouté à pour simplifier)

Dans quel cadrant se situe ? Dans quel cadrant se situe ?

[vam]

Bonjour
Bof....il est bien plus rapide de passer par sin(x+pi/3) = -1 et effectivement, rien dans le 2e quadrant

[Legolas2mars]

Oh la la les gars , je suis désolé j'ai fait une erreur en recopiant l'exercice, c'est cos(2x)+sin(x+ pi/3)=0 qu'on souhaite résoudre. J'ai bon sur ma feuille mais je vous l'ai mal recopier sur le site... C'est le passage du sin en cos qui me perturbe c'est pour ça
En fait, c'est bien parce qu'on souhaite annulé le cos b (pour avoir cos x = cos b ) qu'on choisi la formule sin x = - cos (pi/2 + x) ? merci pour votre aide !!

[fatal_error]

hi,

(pour avoir cos x = cos b )

oui c'est une méthode.
ici, tu déduis que x = b + 2kpi

[Legolas2mars]

Mehdi-128, tu fais comment pour placer les valeurs négatives sur le cercle trigonométrique ? Je veux dire que pour les axes cos et sin ça va mais sur le cercle en lui même, faut faire comment ? Par exemple ici, -5pi/6 tu le place comment ? je sais que c'est 5 fois 30° mais avec le moins j'arrive pas à le placer. Merci bien

[lyceen95]

Quand l'angle est positif, on tourne dans un sens, et quand l'angle est négatif, on tourne dans l'autre sens (donc dans le sens des aiguilles d'une montre).

Donc 5 fois -30°, si on continue l'analogie avec une horloge à aiguille, ça nous emmène sur le 8 de l'horloge (on part du 3, et chaque portion de 30° fait avancer d'une position, parce que 30°= 360°/12 et il y a 12 positions sur le cadran)

[Legolas2mars]

Ok merci fatal_error, c'est donc pour annuler le cos.
Merci lyceen95, donc du coup je me suis trompé pour la solution, le x qui appartient au 2eme quadrant est x= 5pi/6 +2kpi et non x= -5pi/18 + 2kpi/3 car négatif donc dans le sens inverse.
D'ailleurs comment vous le placer - 5pi/18 hormis le fait de se déplacer vers la droite, sans calculette comment on sait où il se trouve a peu près ?
Merci

[lyceen95]

On va commencer par placer +5PI/18
+ 5PI/18, c'est un peu moins que +6PI/18, et c'est un tout petit peu plus que 5PI/20.
6PI/18, c'est PI/3, on sait facilement le placer.
5PI/20, c'est PI/4 , on sait aussi facilement le placer. Donc on sait à peu près placer 5PI/18, il est entre PI/4 et PI/3.
Et -5PI/18, c'est comme +5PI/18, mais dans l'autre direction.

[fatal_error]

slt,

je présume que tu sais placer pi/6

Code: Tout sélectionner

               3pi/6
            XXXXXXX
       XXXXXXX  X  XXXX   2pi/6
    XXXX        +      XXXX
   XX           |       X XXX
  XX            |      XX   XX
 XX             |     XX      XX
XX              |    XX       XXX  pi/6
X               |   XX  XXXXXXX XX
X               | XXXXXXX        X
+---------------XXX--------------X 0



pi/18 ca revient juste à subdiviser les intervalles [kpi/6; (k+1)pi/6] en 3

Code: Tout sélectionner

 XXXXXX       2pi/6 = 6pi/18
XX    XXXXXXXX
|          XXXXXXX   5pi/18
|          X     XXX
|         X     XXX XXX
|        X     XX     XXXX 4pi/18
|       XX    XX        XXX
|      XX    XX       XXX XX
|     X    XXX     XXX      X
|    XX   XX    XXXX     XXXXX  pi/6 = 3pi/18
|   XX  XXX  XXXX    XXXXX   XX
|  X   XX XXXXXXXXXXX         XX
| XX XXXXXXXX                  X
|XXXXXXX                       XX
+XX-----------------------------X



tu devines trivialement où se trouve -5pi/18 si tu sais ou placer 5pi/18

[Legolas2mars]

OKOK merci les gars, j'ai enfin compris !!

[Sylviel]

@Legolas2mars : évite de mettre tes titres en majuscule, ça gêne la lisibilité du forum. merci !

[Legolas2mars]

Ok désolé, c'est l'habitude.