Résolu.

[Krayz]

Résolu.

[Elias]

Salut,

Par récurrence, c'est assez immédiat.

[Krayz]

Résolu.

[FLBP]

Bonjour,

Une façon de démontrer ça, c'est avec la formule du binôme de Newton :

Je le fait pour a :





la somme des cas où k est pair; le nombre sera entier et vaudra x

la somme des cas où k est impair; le nombre sera de la forme :

c'est pareil pour b ...

Cordialement.

[Ben314]

Salut,
Si tu veut chercher un truc marrant, tu peut constater que tes suites elles vérifient :



Donc ce sont des solutions de l'équation (en nombres entiers naturels) et évidement la question rigolote, c'est de savoir si tu les as toutes ou pas.

[Krayz]

On pose et

1) Montrer que pour tout entier naturel , il existe et entiers naturels tels que :

et

• Définition : Pour tout entier naturel , notons : "il existe deux nombres entiers naturels et tels que et "

• Initialisation :

: et : on prend donc .

De même, est vraie avec et .

• Hérédité :

Supposons que pour un rang donné, la propriété soit vraie : cela signifie qu'il existe deux nombres entiers naturels et tels que et .

Démontrons alors que est vraie c'est-à-dire qu'il existe deux nombres entiers naturels et tels que et .

et

Le début est bon ?

[Elias]

Oui mais qu'est-ce qui t'empêche de continuer ?

Remplace a^n par ce que ça vaut avec l'hypothèse de récurrence et a par ce que ça vaut

[Krayz]

et sont bien des entiers naturels.

[Elias]

Ok mais il fait le faire aussi avec b^n pour voir que ce sont bien les mêmes entiers.

[Krayz]

On pose et

1) Montrer que pour tout entier naturel , il existe et entiers naturels tels que :

et

• Définition : Pour tout entier naturel , notons : "il existe deux nombres entiers naturels et tels que et "

• Initialisation :

: et : on prend donc .

De même, est vraie avec et .

• Hérédité :

Supposons que pour un rang donné, la propriété soit vraie : cela signifie qu'il existe deux nombres entiers naturels et tels que et .

Démontrons alors que est vraie c'est-à-dire qu'il existe deux nombres entiers naturels et tels que et .





et sont bien des entiers naturels.

est vraie.

• Conclusion :

La propriété est initialisée au rang , elle est héréditaire, donc vraie pour tout entier naturel .

2) Exprimer et en fonction de et .

,

3) Montrer que et que .

La suite est constante ce qui signifie que l'ensemble de ses termes est égal à où :


.

[Elias]

Oui c'est correct (et bien rédigé mais fais attention à bien séparer tes égalités à la fin de ton message, c'est moyennement lisible) mais pour le début de la question 3), tu pouvais éventuellement faire comme le message de Ben314 ci-dessus, c'est plus direct (tu peux t'amuser à rechercher les mots clés "équation de Pell Fermat" si tu as le temps).

[Krayz]

Oui, je connais les équations de Pell-Fermat

En déduire que les fractions suivantes sont irréductibles :

1)

2)

3)

Une fraction est irréductible si et seulement si le PGCD(numérateur, dénominateur)=1.

Grâce à la question 3) il est trivial d'affirmer que :

D'après le fameux théorème de Bachet-Bézout,





Ma réponse est suffisante ou je dois développer en disant que ?

[Elias]

Ma réponse est suffisante ou je dois développer en disant que ?

Non c'est très suffisant et je ne comprends pas vraiment cette remarque.

Attention, c'est plutôt le théorème de Bézout que tu utilises (dans sa version "réciproque": si a et b sont deux entiers tels qu'il existe u,v entiers tels que au+bv=1, alors pgcd(a,b)=1) et pas l'identité de Bachet-Bezout qui dit simplement que si a et b sont deux entiers, alors on peut trouver u,v entiers tels que au+bv= pgcd(a,b)

[Krayz]

C'est noté.

5) On note , montrer que .

[Elias]

C'est bien ça
J'imagine qu'ensuite,il faudra démontrer que A^n = PD^n P^(-1)

[Krayz]

Tout à fait.

5) Prérequis:






Définition : Pour tout entier naturel on note la propriété définie par « .

Initialisation : pour , on a : .

La propriété est donc initialisée au rang .

Hérédité :

Supposons que la propriété P(n) définie par « » est vraie pour un entier naturel .

Démontrons alors que définie par « » est également vraie.



où .

Ainsi, on obtient l'égalité suivante :







La propriété est donc vraie au rang suivant, elle est donc héréditaire.

Conclusion :

Finalement, le principe de récurrence permet d’affirmer que pour tout entier naturel , la propriété est vraie du fait qu'elle soit initialisée au rang et héréditaire.

[Elias]

C'est ok (même si on peut un peu alléger la rédaction)