[Résolu] Limite de x.ln(1+1/x) en l'infini sans passer par les équivalences ...

[banban56]

Bonjour,

Voilà, en réalité tout est dit dans le titre. J'aide ma copine pour cette limite là mais j'avoue que je sèche un peu. Moi en supérieur, j'ai vu les équivalences donc je pourrais dire que ln(1+1/x) quand x tend vers l'infini ça équivaut à 1/x OR elle est en term S donc faut oublier ça. J'ai essayer aussi avec un changement de variable X=1/x avec quand x tend vers l'infinit X tend vers 0 ce qui donne :
[ln(1+X)]/X mais là pareil, je sèche :s Un peu d'aide ne serais pas de refus là :we: Merci d'avance.

[Antho07]

ils ont normalement vu l'approximation affine en TS

f(a+h)=f(a)+hf'(a) au voisinage de 0,une facon d introduire les developpements limités du premiere ordre.

Mais il me semble ne mettre jamais servi de cela pour calculer une limite en TS. Mais bon cela reste juste


Apres je me rapple plus du tout quelles limites ils ont admises et/ou demontrées. je crois que ln(x)/x est une limite connue en TS

[banban56]

Mhhhh le truc de l'approximation affine, je pense pas qu'ils ont vu mais je vais lui en parler pour voir. Sinon, oui on a bien des limites usuelles avec la fontion ln comme par exemple ln(x)/x comme tu as dit mais celle-ci c'est pour quand x tend vers l'infini or avec mon changement de variable, X tend vers 0.

[raito123]

bonjours,
je suis en bac maths et j'ai ma petite idée :

on ^pose donc tende vers 0 quand tende vers + infini
donc n obtient lim en 0 de egal à 1

[banban56]

Oui c'est ce qu'on appelle un changement de variable et c'est justement ce que j'ai fait mais comment tu peux affirmer ta limite là ? Parce que la limite de ln(1+x) quand x tend vers 0 c'est égal à 0 car ln(1)=0 donc on aurait 0 sur 0 or c'est une forme indéterminée :s

[Skullkid]

Oui c'est ce qu'on appelle un changement de variable et c'est justement ce que j'ai fait mais comment tu peux affirmer ta limite là ? Parce que la limite de ln(1+x) quand x tend vers 0 c'est égal à 0 car ln(1)=0 donc on aurait 0 sur 0 or c'est une forme indéterminée :s

Bonjour, la limite de en 0 peut se justifier par le changement de variable . On tombe alors sur la limite de en 0, qui est connue en terminale (inverse du taux de variation de exp entre 0 et X).

[raito123]

on peut poser:

donc la limite en la premiére en 0 et la limite de la deuxiéme en 0 aussi
et on peut remarquer que LA deuxiéme c'est la derivé de en un 0
alors

[banban56]

Oui ... dans ces cas là, je suis d'accord ça marcherai. Mais en fait, je vous ai pas tout dit :s Je suis partit sur la fonction [ln(1+x)]/x après avoir fait un changement de variable de la fonction x.ln(1+1/x) mais en réalité la fonction est x.ln(1+3/x). Je n'ai pas mis le "3" dans ma question car avec l'équivalence cela reviens au même mais pour les cas que vous me dites, ça m'a l'air différent ... Si j'utilise le changement de variable que j'ai fait j'aurais ... [ln(1+3X)]/X avec X=1/x. Peut on utiliser le taux de variation dans ces cas là ? Je ne pense pas... :s

[raito123]

Simple pose donc
tu fait monter le troix en haut et le résultat devient la limite quand tende vers 0 est de 3

[Antho07]

oui pareil,

on a:



soit en posant:

f:x->ln(1+3x)

on arriver à

[banban56]

Mais c'est bien sûr ^^ Moi je voyais ça différent parce qu'on avait 3X en haut et X en bas mais ça change rien :) En tout cas merci beaucoup les gars !! :++: Bonne soirée à tous !