Représentations paramétriques

[Alessandra]

Bonjour, pouvez-vous m'aider à cet exercice sur les représentations paramétriques s'il vous plaît ?

On considère les droites D et Delta de représentations
paramétriques respectives :
D: {x=2+t
{y=1-t, t appartenant à Grand R
{z = t

Delta:{ x=3+3u
{ y=5+2u, u appartenant à Grand R
{z = 2u
1. Justifier qu'un point M(x;y;z) appartient à l'inter-
section de D et Delta si et seulement s'il existe un réel t et
un réel u tels que :
{2+t=3+3u
{1-t=5+2u
{t=2u
2. En déduire les valeurs des réels t et u.
3. Conclure sur l'intersection des droites D et Delta

Merci.

[hdci]

Bonjour,

Qu'avez-vous réussi à faire ? Qu'avez-vous essayé sans réussir ?

Par exemple, la première question ?

[Alessandra]

Je ne sais pas comment débuter je tourne en rond ..
J'ai essayée de faire cela mais cela me paraît étrange
t=1+3u
-t=4+2u
t=2u

[hdci]

J'ai essayée de faire cela mais cela me paraît étrange
t=1+3u
-t=4+2u
t=2u

C'est un bon début : vous avez écrit que puisque M appartient aux deux droites, il existe un réel t qui donne ses coordonnées (droite D), et un (autre) réel u qui donne ses coordonnées (droite Delta), et comme c'est "le même point" les coordonnées sont égales.
J'en déduis donc que vous avez su répondre à la première question qui était

1. Justifier qu'un point M(x;y;z) appartient à l'inter-
section de D et Delta si et seulement s'il existe un réel t et
un réel u tels que :
{2+t=3+3u
{1-t=5+2u
{t=2u

Il s'agit maintenant de trouver t et u. Le truc ici, c'et que vous avez 2 inconnues (t et u) et trois équations.
La troisième équation donne t=2u.
Pourquoi ne pas remplacer t par 2u dans les deux premières équations ? Vous aurez ainsi deux équations avec une seule inconnue, u. Et si les droites ont bien un point d'intersection vous devriez trouver le même résultat pour u dans les deux équations.

Une fois que vous avez trouvé u, pour trouver t il suffit juste de revenir à t=2u

[Carpate]

Tu ne sais pas résoudre un système de 3 équations a 2 inconnues t et u ?
Les 2 premières te donneront les valeurs de t et u.
La troisième est une relation que doivent vérifier ces 2 valeurs trouvées. ...

[Alessandra]

Malheureusement je n'ai toujours pas réussi à la question n°1 je bloque toujours...

On pose t=2u

2u=1+3u
-2u=4+2u
Cela revient à faire:

u=-1
-4u=4 soit u=-1
Vu que t=2u donc t=-2

[hdci]

et t=-2 c'est correct.

Mais je ne comprends pas pourquoi :

Malheureusement je n'ai toujours pas réussi à la question n°1 je bloque toujours...

En effet, ce n'est qu'en répondant à la première question qu'on peut obtenir cela

J'ai essayée de faire cela mais cela me paraît étrange
t=1+3u
-t=4+2u
t=2u

Comment avez-vous donc fait ?

[Alessandra]

Grâce à vos explications:
Je ne sais pas comment montrer que M appartient à l'intersection de D et Delta

[hdci]

Vous avez trouvé que pour u=-1, le point de Delta a pour coordonnées...
Puis pour t=-2, le point de D a pour coordonnées...

Or, ce sont les mêmes coordonnées. Donc c'est le même point qui appartient à Delta, ainsi qu'à D.

Grâce à vos explications:
Je ne sais pas comment montrer que M appartient à l'intersection de D et Delta

Non ce n'est pas grâce à nos explications que vous avez trouvé cela :

Je ne sais pas comment débuter je tourne en rond ..
J'ai essayée de faire cela mais cela me paraît étrange
t=1+3u
-t=4+2u
t=2u

Car cela vous l'avez indiqué tout au début, avant qu'on vous donne quelque explication que ce soit.

Reprenez votre raisonnement : si le point M appartient à l'intersection de D et de Delta, alors :

• Il existe t tel que... (parce que M est un point de D)
• il existe u tel que... (parce que M est un point de Delta)
• et comme vous avez trouvé ce nombre t et ce nombre u, c'est que le point M...

[Alessandra]

Voila ce que j'ai essayé de faire:

1) Il exister un réel u et t tels que:
2+t=3+3u
1-t=5+2u
t=2u
On porte la valeur t=2u sur les deux premières équations:
2u=1+3u
-2u=4+2u
Cela devient
2u-3u=1 soit u=-1
-4u=4 soit u=-1

Donc M appartient à delta (je ne sais pas comment réellement justifier)

2)
2+t=3+3*(-1) soit 2+t=0 soit t=-2
1-t=5+2*(-1) soit -t=3-1 soit t=-2

Donc t=-2 et u=-1

Le point d'intersection des droites D et Delta se trouve à M(0;3;-2)

Cela est-il juste ??

[hdci]

1) Il exister un réel u et t tels que:
2+t=3+3u
1-t=5+2u
t=2u

Oui, ça c'est exactement les équations "pour quelles valeurs de t et de u a-t-on un point qui appartient à l'intersection"

Donc M appartient à delta (je ne sais pas comment réellement justifier)

C'est simple : si vous prenez n'importe quelle valeur u, le point de coordonnées (3+3u ; 5+2u ; 2u) appartient à la droite Delta : c'est exactement le sens de l'équation paramétrique de la droite, " l'ensemble de tous les points M de coordonnées (x,y,z) pour lesquels il existe un réel u tel que x=3+3u ; y=5+2u et z=2u ".
En particulier pour u=-1.

(De la même façon, les points de coordonnées (2+t ; 1-t ; t) où t est un réel sont exactement les points de la droite D).

Le point d'intersection des droites D et Delta se trouve à M(0;3;-2)

Cela est-il juste ??

Oui puisque pour u=-1 on trouve bien pour Delta le point (0;3;-2), et pour t=-2 on trouve pour D le point (0;3;-2), ce sont les mêmes coordonnées donc le même point. Qui par conséquent est l'intersection des deux droites.

[Alessandra]

Merci beaucoup pour votre aide

Bonne journée