Recherche exercices arithmétique

[Waax22951]

Bonjour,
Je veux dire que f n'utilise que l'addition, la soustraction, et la multiplication (et donc la puissance à exposant entier..), puisque l'image d'un entier par f est un entier
(si ça utilise la division, alors l'image d'un nombre premier n'est pas entière, tout comme pour les puissances non entières ou d'autres fonctions dans ce genre.. Du coup on peut en déduire que )
En réalité je me suis rendu compte de la bêtise de mon raisonnement, en effet, si je considère mon raisonnement logique, alors si deux nombres sont congrus modulo n, alors ils sont égaux.. Ce qui est absurde !
Pour palier ce problème il faudrait démontrer que f est majorée par 9, des idées ?
Après je viens d'avoir une idée mais ça me parait bizarre que ça fonctionne.. Du coup si vous voyez une erreur signalez la moi:

Donc
D'où

Or, pour tout n on a:

Donc

Après si on raisonne comme ça, exp(0)=0.. Ce qui est absurde.. Donc quelqu'un peut me dire où est mon erreur ?
Donc si quelqu'un a une idée pour démontrer que f(n)<9, je suis preneur

Pour les nombres qui se finissent par 1, 3, 7 et 9, je l'avais compris, puisque je cherche justement à le démontrer à travers la propriété :lol3:
Après j'essaie depuis peu de temps à le démontrer par l'absurde en considérant un entier s tel que , mais je tourne un peu en rond.. Je vois pas comment le faire par récurrence puisqu'on ne sait pas ce que fait f(n+1) et je ne vois pas comment le faire par disjonction des cas.. :hein:

[t.itou29]

Bonjour,
Je veux dire que f n'utilise que l'addition, la soustraction, et la multiplication (et donc la puissance à exposant entier..), puisque l'image d'un entier par f est un entier
En réalité je me suis rendu compte de la bêtise de mon raisonnement, en effet, si je considère mon raisonnement logique, alors si deux nombres sont congrus modulo n, alors ils sont égaux.. Ce qui est absurde !
Pour palier ce problème il faudrait démontrer que f est majorée par 9, des idées ?
Après je viens d'avoir une idée mais ça me parait bizarre que ça fonctionne.. Du coup si vous voyez une erreur signalez la moi:

Donc
D'où

Or, pour tout n on a:

Donc

Après si on raisonne comme ça, exp(0)=0.. Ce qui est absurde.. Donc quelqu'un peut me dire où est mon erreur ?
Donc si quelqu'un a une idée pour démontrer que f(n)<9

Je pense que ton raisonnement est correct, il ne conduit pas à exp(0)=0 car l'équation fonctionnelle f(xy)=f(x)+f(y) est satisfaite par le logarithme et non l'exponentielle (et d'ailleurs le log n'est pas défini en 0 ...).
Après l'exercice n'a plus trop d'intérêt donc je pense que l'énoncé (que j'ai recopié de mémoire) devait préciser pour m et n strictement positifs.
Dans ce cas tu peux raisonner ainsi :
Si n finit par 1 alors 3n finit par 3 et de f(3n)=f(3)+f(n) on en déduit f(n)=0 et faire pareil pour 7 et 9.

[Waax22951]

Faut vraiment que j'arrête de me compliquer la vie.. Du coup merci pour la réponse ;)
Oui en effet, après j'ai fait ça en prenant mon petit déjeuner sur mon portable donc c'est possible que je n'ai pas été très concentré.. ^^'
Je vais tout de même chercher à démontrer que f est majorée, ça m'occupera ! :lol3:
Bonne journée !
(si vous avez d'autres exercices dans le même style je suis preneur !)

[Mikihisa]

[Sake]

Salut,

Tu définis mal tes variables.

[Mikihisa]

J'ai corriger, le truc drôle c'est que j'pensait passer inaperçu mais t'as poster pile quand j'ai édit lol

[t.itou29]

Déterminer le plus petit entier positif x tel que 2|x-1, 3|x-2 , 4|x-3 ..., 9|x-8 .

[Waax22951]

Déterminer le plus petit entier positif x tel que 2|x-1, 3|x-2 , 4|x-3 ..., 9|x-8 .

J'aime beaucoup le problème, du coup je suis en train de conjecturer un résultat :lol3:
(en réalité ça sera démontré par disjonction des cas mais ça ne me plaît pas trop comme méthode, donc j'essaierai de le démontrer formellement).
J'ai réussi à démontrer que x est le plus petit entier naturel impair tel que, pour tout entier n compris entre 2 et 9, on ait: (avec [x] la partie entière de x).
Du coup j'ai créé un algorithme qui teste toutes les valeurs possibles (j'en suis à x>4500 là..)
(Du coup je me demande si je n'ai pas fait une erreur dans mes calculs..)

Ce problème ci risque de me prendre un peu plus de temps, donc je m'en occuperai après avoir fait celui de t.itou :lol3:
J'ai déjà trouvé le cas particulier lorsque a=b, après je conjecturerai avec un algorithme pour des petites valeurs de a et de b, faut que je m'entraîne :lol3:


...

(Bon.. j'en suis à x>8200.. Est-ce vraiment le cas..?)

PS: je me suis rendu compte que j'ai confondu un + et un -, du coup, c'est , donc je relance l'algorithme ^^'

[zygomatique]

x = 2a + 1
x = 3b + 2
x = 4c + 3 = 2(2c + 1) + 1
x = 5d + 4
x = 6e + 5 = 3(2e + 1) + 2
x = 7f + 6
x = 8g + 7 = 2(4g + 3) + 1
x = 9h + 8 = 3(3h + 2) + 2

ouais bof .... faut voir ....



... et si tu étudiais la fonction ?

[Waax22951]

x = 2a + 1
x = 3b + 2
x = 4c + 3 = 2(2c + 1) + 1
x = 5d + 4
x = 6e + 5 = 3(2e + 1) + 2
x = 7f + 6
x = 8g + 7 = 2(4g + 3) + 1
x = 9h + 8 = 3(3h + 2) + 2

J'en suis ici déjà, mais je ne vois pas comment continuer (je vais continuer à réfléchir dessus )

Pourquoi étudier la fonction ?

[t.itou29]

J'aime beaucoup le problème, du coup je suis en train de conjecturer un résultat :lol3:
(en réalité ça sera démontré par disjonction des cas mais ça ne me plaît pas trop comme méthode, donc j'essaierai de le démontrer formellement).
J'ai réussi à démontrer que x est le plus petit entier naturel impair tel que, pour tout entier n compris entre 2 et 9, on ait: (avec [x] la partie entière de x).
Du coup j'ai créé un algorithme qui teste toutes les valeurs possibles (j'en suis à x>4500 là..)
(Du coup je me demande si je n'ai pas fait une erreur dans mes calculs..)






Ce problème ci risque de me prendre un peu plus de temps, donc je m'en occuperai après avoir fait celui de t.itou :lol3:
J'ai déjà trouvé le cas particulier lorsque a=b, après je conjecturerai avec un algorithme pour des petites valeurs de a et de b, faut que je m'entraîne :lol3:


...

(Bon.. j'en suis à x>8200.. Est-ce vraiment le cas..?)

PS: je me suis rendu compte que j'ai confondu un + et un -, du coup, c'est , donc je relance l'algorithme ^^'

Oui c'est vrai qu'à x>8200 ça fait beaucoup, normalement c'est plutôt 2000< x < 3000
Il y a une astuce toute simple, la solution tient en à peine 6 lignes !

[Waax22951]

Je vois ça ;)
J'ai presque trouvé formellement et je me suis rendu compte que j'ai fait une légère faute dans mon algo ^^'
Du coup je l'ai corrigée et j'ai trouvé x=2419 ! Je suppose que c'est ça ? :)

[t.itou29]

Je vois ça
J'ai presque trouvé formellement et je me suis rendu compte que j'ai fait une légère faute dans mon algo ^^'
Du coup je l'ai corrigée et j'ai trouvé x=2419 ! Je suppose que c'est ça ?

C'est presque ça (a un chiffe près), c'est 2519 !

[Waax22951]

C'est presque ça (a un chiffe près), c'est 2519 !

En effet, j'ai juste fait une faute de frappe !

[t.itou29]

En effet, j'ai juste fait une faute de frappe !

Je me disais bien :ptdr:
Tu as trouvé comment le prouver ?

[Mikihisa]

Je te donne quelque indice pour mon exo pour t'éviter de partir dans de mauvaise directions. L'énoncer est un peu sournois, en même temps c'est un exercice qui a été proposer a un oral de l'X.

Ps : l'exercice ne fait appel a aucune notion particulière, uniquement les notions les plus élémentaire de l'arithmétique (pgcd, etc...). Si tu veux d'autre indices hésite pas mais je te laisse chercher un peu ^^
Premier indice vague :
Il n'y a qu'un nombre fini de solutions

Deuxième indice, plus précis :
Il n'y a en fait qu'une seule solution : (2;4) (et aussi (4;2) mais on peut supposer a<b pour se faciliter la tâche ). Le but de l'exercice est donc de prouver que (2;4) est la seule solution.

[Waax22951]

Raah ça m'énerve !! :ptdr:
J'ai mis trop de temps à trouver "l'astuce" puisque je ne me doutais pas que c'était si simple !!
Du coup je la met:
On remarque que pour tout n compris entre 2 et 9, on a:

Or, si a|b, alors a|a+b (puisque a divise a).
Donc

On en déduit que x+1 est le PPCM de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.
On calcule donc:

On a donc:





Donc .
Donc !

Voilà voilà..


Merci mikihisa, ton problème m'a l'air beaucoup plus abordable comme ça !
Oui je vais chercher un peu là !

[zygomatique]

[quote="Mikihisa"]Je te donne quelque indice pour mon exo pour t'éviter de partir dans de mauvaise directions. L'énoncer est un peu sournois, en même temps c'est un exercice qui a été proposer a un oral de l'X.

Ps : l'exercice ne fait appel a aucune notion particulière, uniquement les notions les plus élémentaire de l'arithmétique (pgcd, etc...). Si tu veux d'autre indices hésite pas mais je te laisse chercher un peu ^^
Premier indice vague :
Il n'y a qu'un nombre fini de solutions

Deuxième indice, plus précis :
[COLOR=White]Il n'y a en fait qu'une seule solution : (2;4) (et aussi (4;2) mais on peut supposer a b

mais il existe une infinité de solution réelle ....

il suffit d'étudier la fonction que j'ai donnée ....

[zygomatique]

Raah ça m'énerve !! :ptdr:
J'ai mis trop de temps à trouver "l'astuce" puisque je ne me doutais pas que c'était si simple !!
Du coup je la met:
On remarque que pour tout n compris entre 2 et 9, on a:

Or, si a|b, alors a|a+b (puisque a divise a).
Donc

On en déduit que x+1 est le PPCM de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.
On calcule donc:

On a donc:





Donc .
Donc !

Voilà voilà..


Merci mikihisa, ton problème m'a l'air beaucoup plus abordable comme ça !
Oui je vais chercher un peu là !

bien vu .... mais alors pourquoi faire compliqué quand on peut faire faire simple pour le calcul du ppcm ...

ppcm(2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) = ppcm(5, 7, 8, 9) = 5 *7 * 8* 9 tout simplement ...

:lol3:

[Waax22951]

Je n'ai jamais vu cette notation, du coup j'ai toujours fait de cette façon, c'est plus un effort de rédaction qu'un réel changement :lol3:
Mais bon, je retiens quand même quand même, ça peut toujours servir..!
Je pense qu'il a simplement oublié de dire dans l'énoncer que a et b sont différents ^_^
Du coup je réfléchirai au problème posé demain
Juste une question, comment en es-tu venu à étudier la fonction ? :we:

Bonne soirée !