Raisonnement par récurrence

[iron mike]

bonjour j'ai un exercice de raisonnement par récurrence mais je suis coincé aprés l'initialisation j'aurais donc besoin d'aide pour la suite.


Enoncé
On pose : Tn = 5+3x4^(n+2)+10^n
Démontrer par récurrence que la propriété "Tn est divisible par 9" est vraie pour tout entier naturel n.

Ma démarche :
Soit Tn = 5+3x4^(n+2)+10^n est divisible par 9
Initilisation
To = 5+3x4^(0+2)+10^0
= 5+3x4²+1
= 5+3x16+1
= 54
54 est divisible par neuf donc To est vraie

ensuite je suis totalement bloqué

[Sa Majesté]

Suppose que Tn est divisible par 9
Il faut montrer que Tn+1 est divisible par 9

Tn+1= 5+3x4^(n+3)+10^(n+1)
La difficulté est de relier Tn+1 à Tn
Tu peux par exemple remplacer 3x4^(n+3) par 3x4x4^(n+2)=4Tn-...+...

[Noemi]

Ecrire T(n+1) en fonction de T(n) et en déduire qu'il est divisible par 9.

[iron mike]

je suis le raisonnement que vous me proposez
mais j'ai l'impression de me tromper car vous dites :
Tu peux par exemple remplacer 3x4^(n+3) par 3x4x4^(n+2)=4Tn-...+...
Mais je n'y arrive pas
moi je trouve
3x4x4^(n+2)=4Tn-4x10^(n+1)-20
Je n'arrive pas à trouvé quelque chose à ajouté car vous me proposé un plus mais je n'en trouve pas.
Mon expression est-elle juste ?

[nuage]

Salut,
si j'osai te donner donner un conseil, je dirais :
calcule et vérifie que ce nombre est divisible par 9.