Raisonnement par récurrence

par **anemelie1** » 27 Nov 2006, 17:23

voici l'énoncé de mon exercice f est la fonction définie sur R par f(x)=(x²+x+1)exp(x). On note f^(1),f^(2),...,f^(n) ses dérivée successives. On dit que f^(n) est la dérivé "n-ième" de f.

J'ai du calculer la dérivé de la fonction sa donne: f^(1)(x)=exp^x(x²+3x+2)
maintenant je bloque sur la deuxième question qui est de démontrer par récurrence que f^(n)(x) s'écrit sous la forme (x²+anx+bn)exp^x ou an et bn sont des entiers naturels.

Pour répondre a sa j'ai commencé par l'initialisation qui est:
on doit montrer que f^(n)(x)=(x²+anx+bn)exp^x
pour n=1 f^(1)(x)=(x²+x+1)exp^x
(x²+a1x+b1)exp^x=(x²+x+1)exp^x
donc c'est égaux
aprés j'ai commencé l'hérédité mais je suis bloqué:
on doit montrer que f^(p)(x)=(x²+a(n+p)x+b(n+p))
supposons la propriété vraie au rang p et démontrons qu'elle est vraie au rng (p+1):
f^(p+1)(x)=f^(p)(x)*f^(1)(x)
=[exp^x(x²+apx+bp)]*[exp^x(x²+3x+2)]
=(exp^x*x²+exp^x*apx+exp^x*bp)*(exp^x*x²+exp^x*3x+exp^x*2)
=exp^x[(x²+apx+bp)+(x²+3x+2)]
=exp^x(2x²+3apx+2bp)
je suis bloqué ici et je suis meme pas sur que c 'est bon ce que j'ai fait est ce que quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plait. Merci d'avance

par **mary123** » 27 Nov 2006, 17:43

Pour calculer f^(p+1)(x) il faut que tu dérive f^p(x). Mais avant il faut que tu sache ce que tu veux obtenir en l'occurence

f^(p+1)(x)=(x²+ax(p+1)+b(p+1))exp^x

en dérivant

f^(p)(x)=(x²+ax(p)+b(p))exp^x

Bonne chance

par **mary123** » 27 Nov 2006, 17:44

Ce que tu as écrit là c'est faux

f^(p+1)(x)=f^(p)(x)*f^(1)(x)

Pour calculer f^(p+1)(x) il faut dériver f^p(x) cf précédent message

par **anemelie1** » 27 Nov 2006, 18:01

quand je dérive f^(p)(x) j'obtiens:
[f^(p)(x)]'=(x²+axp+bp)exp^x+exp^x(2x+ap)
=exp^x(x²+2axp+bp)
est ce que c'est sa?

par **anemelie1** » 27 Nov 2006, 18:38

est ce ke quelqu'un pourrait m'aider a m'expliquer le principe c'est embrouiller dans ma tete.

par **mary123** » 27 Nov 2006, 19:42

Il y a une contradiction dans ce que tu as dit, est ce que ce qu'il faut montrer est donné ou est ce que c'est toi qui a trouvé ca

on doit montrer que f^(n)(x)=(x²+anx+bn)exp^x
on doit montrer que f^(p)(x)=(x²+a(n+p)x+b(n+p))

par **mary123** » 27 Nov 2006, 19:51

Quand tu fait
pour n=1 f^(1)(x)=(x²+x+1)exp^x

où sont passés les a et les b, ton énoncé n'est pas clair.

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