Raisonnement par récurrence

[Imagination]

Bonjour à tous. Voilà, je viens de commencer les raisonnements par récurrence et je n'ai pas totalement
compris, j'aimerais donc un petit coup de pouce svp !
L'énoncé est le suivant : pour tout entier naturel n>=2, (1-1/2^2)x(1-1/3^2)x...x(1-1/n^2) = (n+1)/2n
J'ai donc commencé mais je suis bloqué à l'étape n°2 :
Initialisation : pour n=2, nous avons : >1-1/2^2 = 3/4
> (2+1)/(2x2) = 3/4
La solution est donc vraie pour n=2.
Hérédité : supposons qu'il existe un entier naturel k non nul tel que (1-1/2^2) x(1-1/3^2)x...x(1-1/k^2) = (k+1)/2k
Ainsi, il nous faut démontrer que (1-1/2^2) x(1-1/3^2)x...x(1-1/k^2)x(1-1/(k+1)^2) = ((k+1)+1)/2(k+1) <=> (1-1/2^2) x(1-1/3^2)x...x(1-1/k^2)x(1-1/(k+1)^2) = ((k+2)/2(k+1)
Nous avons donc : 1-1/2^2) x(1-1/3^2)x...x(1-1/k^2)x(1-1/(k+1)^2) = ((k+1)/2k + (1 - 1/(k+1)^2)
= (k+1)/2k + ((k+1)^2/(k+1)^2 -1/(k+1)^2)
= (k+1)/2k + (k^2+2k)/(k+1)^2

Et là, je suis bloqué. Merci d'avance pour vos aides/conseils.
Bonne soirée !

[Black Jack]

Hérédité : supposons qu'il existe un entier naturel k non nul tel que (1 - 1/2^2)*(1 -1/3^2) *...* (1 - 1/k^2) = (k+1)/(2k)

Multiplions les 2 membres par (1 - 1/(k+1)^2) (Cela donne immédiatement le membre de gauche OK pour n = (k+1) )--->

En développant le membre de droite tu dois arriver à la ligne du dessous ...
Essaie de le faire seul ...
Si tu n'y arrives pas, sélectionne avec la souris la zone jusqu'en bas du message, il y a l'aide développée.

(1 - 1/2^2)*(1 -1/3^2) *...* (1 - 1/k^2) * (1 - 1/(k+1)^2) = (k+1)/(2k) * (1 - 1/(k+1)^2)

(1 - 1/2^2)*(1 -1/3^2) *...* (1 - 1/k^2) * (1 - 1/(k+1)^2) = (k+1)/(2k) * ((k+1)² - 1)/(k+1)^2)

(1 - 1/2^2)*(1 -1/3^2) *...* (1 - 1/k^2) * (1 - 1/(k+1)^2) = (k+1)/(2k) * (k²+2k)/(k+1)^2

(1 - 1/2^2)*(1 -1/3^2) *...* (1 - 1/k^2) * (1 - 1/(k+1)^2) = (k²+2k)/(2k*(k+1))

(1 - 1/2^2)*(1 -1/3^2) *...* (1 - 1/k^2) * (1 - 1/(k+1)^2) = (k+2)/(2*(k+1))

(1 - 1/2^2)*(1 -1/3^2) *...* (1 - 1/k^2) * (1 - 1/(k+1)^2) = ((k+1) + 1)/(2*(k+1))

qui est équivalente à (1-1/2^2)*(1-1/3^2)*...*(1-1/n^2) = (n+1)/(2n) pour n = k+1

Et donc ...

Essaie de suivre le raisonnement et de tout refaire seul ensuite.

[Imagination]

Merci pour votre aide. Cependant, je n'arrive pas à développer (1 - 1/2^2)*(1 -1/3^2) *...* (1 - 1/k^2) * (1 - 1/(k+1)^2) = (k+1)/(2k) * (1 - 1/(k+1)^2)
en
(1 - 1/2^2)*(1 -1/3^2) *...* (1 - 1/k^2) * (1 - 1/(k+1)^2) = ((k+1) + 1)/(2*(k+1)). (J'ai tout de même compris que l'expression (k+1)/(2k) * (1 - 1/(k+1)^2) est la même que ((k+1) + 1)/(2*(k+1)) mais je n'ai pas compris comment passer de la première à la seconde).
J'ai déjà essayé de développer "au maximum" et ça me donne (k/(k^3+k^2+1). Suis-je complètement à côté du résultat attendu (je pense que oui mais je ne vois pas d'autres alternatives)? Merci encore !

[Imagination]

Merci pour votre aide, je viens de trouver la réponse en reregardant !!!