Raisonnement par récurrence

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celiine11
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Raisonnement par récurrence

par celiine11 » 22 Avr 2021, 19:03

Bonjour, voici mon exercice :
https://i.postimg.cc/vHYFXdzx/Capture-d ... -24-28.png

Je bloque au niveau de la récurrence pour montrer que u(n+1) est divisible par 6.
J'ai effectue l'initialisation, et au niveau de l'hérédité je trouve u(n+1) = 5n^3 +15n^2 + 16n + 6 et à partir de la je ne vois pas comment montrer que c'est divisible par 6 ou que c'est un multiple de 6.
Pour le 2 j'ai effectué un tableau de congruence et je trouve 0 partout.
Merci d'avance pour votre aide :)



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fatal_error
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Re: Raisonnement par récurrence

par fatal_error » 22 Avr 2021, 19:19

salut,

tu peux reecrire
u(n+1) = u(n) + 15n(n+1) + 6
- tu supposes u(n) multiple de 6
si t'arrives à montrer que tous les termes à droites sont multiples de 6 c'est gagné
- 6 est multiple de ....6
- du coup reste à montrer que 15n(n+1) est multiple de 6 pour tout n
la vie est une fête :)

celiine11
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Re: Raisonnement par récurrence

par celiine11 » 22 Avr 2021, 19:47

D'accord, merci pour l'idée. J'aimerai utiliser les congruences mais je pense que au vu de la question 2, on doit faire autrement.
Je vais donc montrer par récurrence sur n : P(n) "vn = 15n(n+1) est un multiple de 6".
L'initialisation fonctionne très bien.
Et l'hérédité : on a v(n+1) = 15(n+1)(n+2)= 15n^2 + 45n + 30.
Et la encore une fois je bloque...
Je préfère décidément les congruences... C'est tout l'intérêt de cet exercice d'ailleurs.

beagle
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Re: Raisonnement par récurrence

par beagle » 22 Avr 2021, 20:30

n ou n+1 est pair

celiine11
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Re: Raisonnement par récurrence

par celiine11 » 22 Avr 2021, 20:37

n ou n+1 est pair?

beagle
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Re: Raisonnement par récurrence

par beagle » 22 Avr 2021, 20:43

c'est une question, ou tu demandes à quoi cela sert?

15 = 3x5

celiine11
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Re: Raisonnement par récurrence

par celiine11 » 22 Avr 2021, 20:48

On sait que si le nombre est divisible par 2 ET par 3 alors il est divisible par 6.
Comme on a 15n(n+1) = 3x5n(n+1) alors ce nombre est divisible par 3 et par 2 puisque n(n+1) est pair.
Est-ce bien ça?

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fatal_error
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Re: Raisonnement par récurrence

par fatal_error » 22 Avr 2021, 21:01

oui
la vie est une fête :)

celiine11
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Re: Raisonnement par récurrence

par celiine11 » 22 Avr 2021, 21:02

Parfait, merci beaucoup :)

 

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