Raisonnement par récurrence

[silouma]

bonjour s'il vous plait aidez moi a résoudre cet ex
1 montrer que pour tout n ≥3 entier naturelle
2n+1<2 ⁿ
en deduire que pour tout n ≥5 entier naturelle on a n²<2ⁿ

[qaterio]

Voit le problème dans l'autre sens : 2^n>n^2. Tu supposes ça, et tu veux montrer 2^(n+1)>(n+1)^2.
Je te donne le début : 2.2^n>2n^2 <=> 2^(n+1)>2n^2. Continue avec ce que tu as maintenant.

[qaterio]

Ah oui mais tu dois te servir du truc avant, bah non enfaite, voit n^2<2^n.
Petite aide: (n+1)^2=n^2+2n+1.

[qaterio]

(Cela revient au même au niveau de la rédaction mais si tu le prend dans ce sens, je pense que tu comprendras mieux)

[silouma]

pffff sa parait très difficile tu peux plus expliqué ??

[qaterio]

supposons n^2>2^n, comme pour tout n=>3 2n+1<2^n, ...
Je peux pas te donner la réponse, ce n'est pas dans ton intérêt, la récurrence c'est très important, il faut la comprendre, c'est un raisonnement puissant.
Etape 1: tu montres que la propriété est vrai à un certain rang (n=5 ici)
Etape 2: tu suppose que la propriété est vrai au rang n avec n=>5 et n entier. Tu utilises cette propriété (comme je l'ai fais au début du message) et tu montre que la propriété est vraie au rang n+1. Si oui, elle est héréditaire.
Etape 3: si la propriété est initialisée et héréditaire, alors la propriété est vrai pour tout n=>5 (dans le cas ici).
Voilà, c'est pas évident à comprendre au début la récurrence, mais une fois que c'est compris, c'est compris; Ne te décourage pas !

[qaterio]

n^2<2^n * (je peux pas modifier mon message)

[silouma]

merci