Raisonnement par recurrence

[arglise]

Voila mon exercice sur les recurrences

On sinteresse ici a la somme Sn des cubes des n premiers entiers naturels impairs

1. Calculer S1 S2 S3
2.Demontrer par recurrence que, pour tout entier naturel n superieure ou egale à 1 on a Sn=2n4-n2 (le 4 et le 2 derriere les n sont des puissances )
3.Quel est l entier n pour lequel Sn=41 328 ?

La 1ere question j'ai reussi mai aprés je bloque
Merci d avance

[nox]

Tu connais le principe du raisonnement par récurrence ?

Tu as vérifié la condition aux rangs initiaux à la question 1.
Donc maintenant tu fais l'hypothèse que c'est vrai au rang n, c'est à dire que
(1)
et tu dois montrer que


Donc tu as et tu peux remplacer ce qui est entre parentheses grâce à l'hypothese (1)

tu as deja été jusque la ?

[arglise]

oui je connait le principe du raisonnement par recurrence mais ici c'est pour les cubes des n premiers entiers naturels Impairs
c'est pour cela que je bloque

[nox]

hem...tu bloques sur le principe ou sur le calcul ?

On a vu à la question 1 que c'était vrai pour les rangs initiaux.
Ensuite on suppose que c'est vrai au rang n, c'est à dire on suppose que :

et on veut montrer que


Je te conseille donc :
1) de réécrire pour faire apparaitre ton hypothese de récurrence
2) de développer 2(n+1)^4 - (n+1)^2 et d'essayer d'arriver à la meme chose dans les 2 cas

PS : waip j'ai vu entre temps que c'était les impairs et j'ai rectifié

[Quidam]

Salut,

Le n-ième entier impair est
Supposons que la somme des cubes des premiers entiers soit :

Calculons alors la somme des cubes des premiers entiers. Le ième premier entier impair étant on a :



Ben, t'as plus qu'à calculer...

[nox]

voila ^^

je ne vois pas de méthode élégante...faut développer sauvagement

[arglise]

c'est bon j ai compris maintenant mais pour developper 2(n+1)^4 - (n+1)^2
comment on fait avec la puissance de 4 le raisonnement c'est plus ou moin ce que j avais fait mais j arrive pas a dev ca

[nox]

utilises le triangle de pascal pour avoir les coefficients :
1
11
121
1331
14641

On trouve donc (n+1)^4 = n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1

[Quidam]

c'est bon j ai compris maintenant mais pour developper 2(n+1)^4 - (n+1)^2
comment on fait avec la puissance de 4 le raisonnement c'est plus ou moin ce que j avais fait mais j arrive pas a dev ca

Nox a tout à fait raison ! Cependant, à défaut du triangle de Pascal, il est bon de ne pas être perdu par une expression genre !
Si tu ne connais pas les coefficients, si tu ne connais pas le triangle de Pascal, je te rappelle que :

ou


Prends toi par la main et DEVELOPPE ! Quand même ! Tu n'es plus en sixième ! Enfin je crois : le raisonnement par récurrence n'est pas au programme de la sixième !