Raisonnement par récurrence.

par **kinou56** » 06 Sep 2006, 17:40

un petit exo sur le raisonnement par récurrence.

Soit An, le nombre n(n+1)(2n+1)/6 où n appartient N.

1) Calculer A1, A2, A3 (c'est fait)
2) Montrer par récurrence la proposition suivante :
(Pn): An est un entier naturel.

Ayant calculé A1, j'ai trouvé 1 donc P1 est vérifiée.
j'en suis à la deuxième phase : hérédité. Supposons que Pp est vraie, et montrons que Pp+1 est vraie. voilà en cours on s'est arrête là et on doit trouver la suite.

Est-ce qu'il faut calculer Ap. je l'ai fait et j'ai trouvé 2p^3+3p²+1

merci de votre aide.

par **Flodelarab** » 06 Sep 2006, 17:47

Calcul A(p+1) donc Et regarde si c égal a la somme des carrés jusqu'a n+1

par **nekros** » 06 Sep 2006, 17:59

Justement, peut-être ne sait-il pas que la somme des carrés intervient...

par **nada-top** » 06 Sep 2006, 18:00

i.e

tel

maintenent tu dois prouver que

est vrai pour cela tu dois prouver que

donc

tel que

, calcule et tu verra ce que tu trouve en gardant toujours à l'esprit que t'as supposé que

....

par **Flodelarab** » 06 Sep 2006, 18:01

Oupps

G lu en diagonale

par **kinou56** » 06 Sep 2006, 18:02

ça donne 2p+1^3+3p+1²+1
il suffit de rajouter le petit +1 àcôté du p

par **Flodelarab** » 06 Sep 2006, 18:03

kinou56 a écrit:ça donne 2p+1^3+3p+1²+1
il suffit de rajouter le petit +1 àcôté du p

ça prouve pas que ce soit vrai et ça n'empeche pas de mettre des parenthèses kinou ;-)

par **nada-top** » 06 Sep 2006, 18:07

,
dévellope mantenant

tu dois prouver qu'il s'exprime sous la forme de 6k' tel que

par **kinou56** » 06 Sep 2006, 18:15

d'où viens ce k ?

par **BancH** » 06 Sep 2006, 18:18

Sans utiliser la récurrence:

Si

et si

alors

et si

alors

et

Si

alors

Si

alors

puis si

alors

et si

alors

et donc

par **nada-top** » 06 Sep 2006, 18:19

d'où viens ce k ?

tu as supposé que

est vraie donc

donc 6 divise

c-a-d il existe un

tel que

ok?

par **kinou56** » 06 Sep 2006, 18:21

désolé BancH mais je en comprends pas

par **kinou56** » 06 Sep 2006, 18:22

oui ça devrait aller

par **BancH** » 06 Sep 2006, 18:23

Pas de problème, tu es obligé d'utiliser la récurrence.

par **BancH** » 06 Sep 2006, 18:24

kinou56 a écrit:désolé BancH mais je en comprends pas

Pas de problème, tu es obligé d'utiliser la récurrence.

c'était juste pour info ma méthode.

par **kinou56** » 06 Sep 2006, 18:27

nada-top: en dévelloppant (n+1)(n+2)(2n+3), je trouve 2n^3+9n²+13n+6.

par **nada-top** » 06 Sep 2006, 18:27

hérédité : supposons que

est vraie et démontrons que

est vraie .
alors pour démontrer que

est vrai il faut démontrer que

i.e li faut prouver qu'il existe un

tel que

maintenant dévellope (n+1)(n+2)(2n+3) ...

par **kinou56** » 06 Sep 2006, 18:28

j'ai une dernière question sans doute bête mais bon. Comment vous trouvez (n+1)(n+2)(2n+3)?
merci

par **nada-top** » 06 Sep 2006, 18:29

nada-top: en dévelloppant (n+1)(n+2)(2n+3), je trouve 2n^3+9n²+13n+6.

oui c bien ça donc maintenant essaye de l'écrire sous la forme 6k'

par **nada-top** » 06 Sep 2006, 18:30

j'ai une dernière question sans doute bête mais bon. Comment vous trouvez (n+1)(n+2)(2n+3)?

c

Raisonnement par récurrence.

raisonnement par récurrence.

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