Raisonnement par recurrence

[youkef-sne]

Bonjour j'ai un DM a faire et j'ai un exercice sur le raisonnement par recurrence,
La question c'est:
Montrer par recurrence que lorsque n>3, 3^n > n^3
Et moi voila ce que j'ai ecrit:

-Initialisatio
On a donc : 3^4>4^3. <=> 81>64, donc la propriete est initialisée

-Hérédité
Supposons que la propriete est vrai pour un certain rang p, on a alors 3^p>p^3 pour un certain rang p donné (Hypothese de recurrence)
Demontrons que la propriété est hereditaire et donc qu'elle est vrai au rang p+1, On a donc 3^(n*1)=3^n * 3

Mais apres j sais pas comment faire !

[Ben314]

...donc qu'elle est vrai au rang p+1, On a donc 3^(n*1)=3^n * 3

Déjà, "au rang p+1", ça veut plutôt dire que c'est 3^(p+1)>(p+1)^3 qu'il te faut montrer.
Aprés tu peut effectivement partir en disant que 3^(p+1)=3*3^p et arrivé à ce point utiliser l'hypothèse de récurrence (pour moi, c'est le seul intérêt que je vois au fait d'avoir écrit 3^(p+1)=3*3^p...)

[youkef-sne]

Ok mais si je suis ce que tu me dis cela me donne
3^(p+1)>(p+1)^3 . <=> . 3^p * 3 > p^3 + 3p^2 + 3p + 1
Et la je sais pas comment faire ?

[chan79]

Bonjour j'ai un DM a faire et j'ai un exercice sur le raisonnement par recurrence,
La question c'est:
Montrer par recurrence que lorsque n>3, 3^n > n^3
Et moi voila ce que j'ai ecrit:

-Initialisatio
On a donc : 3^4>4^3. 81>64, donc la propriete est initialisée

-Hérédité
Supposons que la propriete est vrai pour un certain rang p, on a alors 3^p>p^3 pour un certain rang p donné (Hypothese de recurrence)
Demontrons que la propriété est hereditaire et donc qu'elle est vrai au rang p+1, On a donc 3^(n*1)=3^n * 3

Mais apres j sais pas comment faire !

salut



il suffit donc d'établir que

Pense que est croissante

[Ben314]

Ok mais si je suis ce que tu me dis cela me donne
3^(p+1)>(p+1)^3 . . 3^p * 3 > p^3 + 3p^2 + 3p + 1
Et la je sais pas comment faire ?

Tu as utilisé l’hypothèse de récurrence ?

En plus, à mon sens, tu as changé de méthode par rapport à ton premier post.
Quand on te demende de montrer un truc style A>B (ici A=3^(p+1) et B=(p+1)^3) il y a plusieurs façons de le faire :
- Soit tu part de A=...>...=...=...>... etc en essayant de tomber sur B à la fin.
- Soit tu part du truc à montrer "A>B" et tu montre qu'il est équivalent à ... qui équivaut à... etc. jusqu'à ce que tu tombe sur un truc évidement vrai.

Mais il faut faire trés attention à ne pas tout mélanger : dans le premier cas, ce que tu écrit, c'est des choses que tu sait êtres vraies alors que dans le deuxième cas, ce que tu écrit, c'est des truc que tu doit montrer.
En fait, souvent (ici par exemple), le mieux de faire un peu des deux : commencer par la méthode 1), puis, quand on ne sait plus comment finir, on passe à la méthode 2. Donc on commence par écrire que :
3^(p+1)=3*3^p>... (grâce à l'hypothèse de récurrence)

[youkef-sne]

Salut chan79,
Excuse moi mais je n'est pas compris ce que tu as écris

[youkef-sne]

Comment demontrer cette propriete !