Raisonnement par récurrence TS

[Satine]

Bonjour :)
Alors voilà j'ai un DM et j'ai réussi à faire tout l'exercice sauf la dernière question avec la récurrence, je crois que j'allais m'arracher les cheveux xD J'implore donc votre aide ! :marteau:

5. Pour tout entier naturel n, on pose Sn = Uo + U1 + ... + Un
Démontrer par récurrence que pour tout n de N :
Sn = 2 - (2n + 3)/2^n

Sachant que dans les énoncés précédents on a Uo = -1 & U1 = 1/2 on a aussi Un+1 = Vn + 1/2 Un enfin il y a plein de truc car l'exercice est assez long xD
Bref j'ai commencé à faire :
Conjecture : Sn = 2 - (2n + 3)/2^n
Initialisation : S0 = 2 - (20 + 3)/2^0
S0 = -1

S0 = Uo
S0 = -1

Donc la propriété semble vraie.

Mais c'est pour l'hérédité que ça se complique, je n'arrive vraiment pas à la faire; j'avais commencé par :
Si pour un certain n appartient à N Sn = Uo + U1 + ... + Un
Alors Sn+1 = Uo + U1 + ... + Un + Un+1
Après je suis bloquée, si vous pouviez me donner une piste, car j'ai essayé plusieurs calculs sans grands résultats ! Merci beaucoup d'avance **

[siger]

Bonjour,

On ne peut rien faire si Un n'est pas mieux defini U(n+1) = V(n) + U(n)/2 ne suffit pas si V(n) est inconnu
V(n) = ????

[Satine]

Ah oui pardon vu que ça faisait parti d'une question j'avais trouvé; V(n) = (1/2)^n

Edit; du coup quand je pars de :
S(n+1) = Uo + U1 + ... + U(n) + U(n+1)
Ça me donne :
S(n+1) = 2 - (2n+3)/2^n + (1/2)^n + 1/2
S(n+1) = 2 - (2n+3)/2^n + 1/2^n + 1/2
S(n+1) = 2 - (2n+3 +1)/2^n + 1/2
S(n+1) = 5/2 - (2n+3 +1)/2^n
Je mets le 5/2 sur le dénominateur 2^n ? : 5/2 = (5*1^n) / (2*1^n) = 5^n / 2^n
S(n+1) = (5^n - (2n +3 +1) )/ 2^n
S(n+1) = (5^n -2n -3 -1) )/ 2^n
S(n+1) = (5^n -2n -4) )/ 2^n

Ça ne me donne rien.. :/

[siger]

Re

j'imagine que tu as du calculer U(n) .......

il faut donc calculer S(n+1) = S(n) +U(n+1)
avec U(n+1) = (1/2)^n +U(n)/2
et montrer que
2 - (2n + 3)/2^n +(1/2)^n +U(n)/2 est egal a S(n+1) = 2 - (2n + 5)/2^(n+1)

[Atashii]

Pour Un, c'est Un = 2n - 1 / 2^n !!

[siger]

Re

Quelle est la relation
U(n+1) = (1/2)^n + U(n)/2 donnée dans le texte
ou
U(n+1) = (1/2)^n + 1/2 ^ utilisée dans les calculs ?

[Satine]

Je viens de me rendre compte que je me suis complètement gourée dans le dernier calcul >< j'ai oublié le Un..
L'énoncé donne :
U0 = -1
U1 = 1/2
Vn = U(n+1) - 1/2 * Un
Mais après il me demande d'exprimer Vn en fonction de n ce qui m'avait donné Vn = (1/2)^n
Il y aussi : U(n+1) = Vn + 1/2 * Un
et après il donne plus loin Un = (2n-1)/2^n
j'ai pas d'autre relation, à part U(n+2) mais je ne pense pas que ce soit nécessaire

Si je reprend mon calcul en rajoutant le Un oublié, ça fait:
S(n+1) = Uo + U1 + ... + U(n) + U(n+1)
S(n+1) = S(n) + U(n+1)
S(n+1) = 2 - (2n+3)/2^n + Vn + 1/2 * Un
S(n+1) = 2 - (2n+3)/2^n + (1/2)^n + 1/2 * (2n-1)/2^n
S(n+1) = 2 - (2n+3)/2^n + 1/2^n + (2n-1)/2^(n+1)
là je mets tous les dénominateurs sur 2^(n+1) :
S(n+1) = 2 - 2(2n+3)/2^(n+1) + 2/2^(n+1) + (2n-1)/2^(n+1)
donc :
S(n+1) = 2 - (4n+6)/2^(n+1) + 2/2^(n+1) + (2n-1)/2^(n+1)
S(n+1) = 2 - (4n + 6 + 2 + 2n - 1)/2^(n+1)
S(n+1) = 2 - (6n + 7 )/2^(n+1)

En fait c'est toujours pas ça :/
J'imagine qu'il faudrait que j'arrive à 2 - (2n + 5)/2^(n+1) ?
Si on part de ça quoi : S(n+1) = 2 - (2(n+1) + 3)/2^(n+1)
S(n+1) = 2 - (2n+5)/2^(n+1)
mais je trouve 6n +7, est-ce que j'ai fait une erreur de calcul? :/
Merci pour votre réponse en tous cas!

[siger]

Re

Avec les bonnes valeurs c'est plus facile...
La prochaine fois essayes de te souvenir que nous n'avons pas la science infuse et que nous ne pouvons travailler qu'avec ce que tu nous donnes!

U(n+1) = (1/2)^n +(1/2)*(2n-1)/2^n ) = (2 +2n - 1)/2^(n+1) = (2n-1)/2^(n+1)
S(n+1) = S(n) + U(n+1)
= 2 - 2n/2^n -3/2^n +( 2n - 1) /2^(n+1)
= 2 - (4n + 6 -2n +1)/2^(n+1)
= 2 - (2n + 5)/2^(n+1)
= 2 - (2*(n+1) +3)/2^(n+1)
= S(n+1)

[Satine]

Désolée, c'était pas une erreur de frappe c'est vraiment moi qui me trompais avec le calcul ^^'
Et je viens de comprendre que j'avais pas factorisé comme il fallait du coup ça faussait tous les signes, merci beaucoup d'avoir consacré de votre temps:)
Vous pouvez archiver, c'est résolu **