Raisonnement par récurrence. De l'aide svp..;

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Vlarck !
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Raisonnement par récurrence. De l'aide svp..;

par Vlarck ! » 12 Sep 2012, 18:51

Bonjour à tous.

C'est un exercice assez basique mais j'ai du mal à comprendre précisément ce qu'il faut faire..

On considère la suite (Un) définie pour tout n de N par :

U0 = 3 et Un+1 = (4Un-2) / Un + 1

1) Soit Un la fonction définie sur [1;+oo[ par f(x) = (4x -2) /(x+ 1)

a) Etudier les variations de f sur [1; +oo[
b) En déduire que pour tout x de [1; +oo[, f(x) est supérieur ou égal à 1

2) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, Un est supérieur ou égal à 1.

3) Démontrer par récurrence que la suite (Un) est décroissante.

Voilà voilà..; J'ai donc étudié les variations de f avec des dérivées : elle est croissante sur [1; +oo[ (je m'excuse d'avance je ne sais pas faire le symbole infini avec l'ordinateur... :stupid_in )...

Pour le b), je ne vois pas trop comment rédiger précisémént, mais je me dis : f(1) = 1 donc comme f est croissante, pour tout x appartenant à [1 + oo[, f(x) est supérieur ou égal à 1.

Et on arrive donc à la 2)..
Il faut donc faire un raisonnement par récurrence. j'ai fait l'initialisation : U1 = (5/2] donc U1 est vraie...

Pour l'hérédité il faut donc démontrer que Un+1 est supérieure ou égale à 1. J'ai remplacé Un+ 1 par l'expression qu'on donne tout au début de l'exercice... Un+1 = (4Un-2) / Un + 1 . Et là je bloque je ne sais pas quoi faire pour démontrer que que Un+1 est vraie. Il y a une aide dans l'exercice : "remarquer que Un+1 = f(Un) et utiliser la question 1"



Goux
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par Goux » 12 Sep 2012, 19:09

Tu dois montrer que Un >= 1

Tu as fais montré que U0 était vraie ainsi que U1,

Tu suppose donc que cela est vraie au rang n, donc que Un >= 1 (c'est ton hypothèse)
Reste à prouver que Un+1>=1

Or Un+1 = f(Un),

Tu as prouver auparavant que f(x)>= 1 pour tout x>=1
Donc en particulier pour x = Un qui par hypothèse est supérieur ou égal à 1
f(Un) >=1
Donc Un+1>=1

D'après le principe de récurrence on en déduit que Un>=1 pour tout x>=1

Vlarck !
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par Vlarck ! » 12 Sep 2012, 19:35

Goux a écrit:Tu dois montrer que Un >= 1

Tu as fais montré que U0 était vraie ainsi que U1,

Tu suppose donc que cela est vraie au rang n, donc que Un >= 1 (c'est ton hypothèse)
Reste à prouver que Un+1>=1

Or Un+1 = f(Un),

Tu as prouver auparavant que f(x)>= 1 pour tout x>=1
Donc en particulier pour x = Un qui par hypothèse est supérieur ou égal à 1
f(Un) >=1
Donc Un+1>=1

D'après le principe de récurrence on en déduit que Un>=1 pour tout x>=1



Merci beaucoup !

Mais comment faire pour la 3) , ou il faut démontrer par récurrence que Un est décroissante ?
Je pensais essayer d'étudier le signe de Un+1 - Un ((4Un-2) / ( Un + 1 ) -Un )

Goux
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par Goux » 12 Sep 2012, 19:54

Tout à fait il faut étudier le signe de Un+1 - Un

Par récurrence :

On montre que cela est vraie au rang 1 et 0 :

U0>U1

On suppose que cela est vraie au rang n, Un+1 < Un (c'est l'hypothèse)

On montre alors que Un+2 < Un+1 :

Un+2 - Un+1 = f(Un+1) - f(Un),

Or Un>1 Un+1>1 (démontré auparavant),
Par hypothèse Un+1 < Un
Comme f est croissante, => f(Un+1) < f(Un), soit f(Un+1) - f(Un) < 0, <=> Un+2 - Un+1 < 0, <=> Un+2 < Un+1,

D'après le principe de récurrence la suite (Un)n est décroissante.

J'espère t'avoir aidé et que tu as bien compris.

Vlarck !
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par Vlarck ! » 12 Sep 2012, 22:18

Eh bien oui c'est tout compris.

Merci encore !

 

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