Racines n-ième et somme des coeff. binomiaux

[t.itou29]

Bonsoir,
Je suis bloqué sur problème depuis ce midi, j'ai l'impression que je suis sur la bonne voie mais j'arrive pas à conclure.
Voici l'énoncé :

1) Montrer que la somme des puissances p-iemes des racines n-ième de l'unité est égale à n ou 0 suivant que p soit un multiple de n ou non.

2) Calculer a)

b)

Je bloque sur la 2)b).
J'ai trouvé que la somme est égale à :
où w est une racine cubique de l'unité.
Je pensais que ce serait simple a calculer, par exemple en développant :
(et la meme chose pour w^(2k) mais finalement ça ne se simplifie pas facilement...

[t.itou29]

Finalement j'ai peut-être une piste:
et le cos doit pouvoir s'exprimer plus facilement
Mais il doit avoir beaucoup plus simple car après je dois généraliser pour la somme de ...

[Lostounet]

Hello,

Cela me rappelle un exercice que j'ai fait il y a quelques jours et qui ressemble à ça. Je ne sais pas si cela peut aider:
Il fallait calculer la somme des coeff. binomiaux alternés, c'est-à-dire allant à pas régulier.





Après, on peut former un système avec A, B et C (et peut-être les sommes que tu veux calculer...) en exploitant le fait que:

A + B + C = (binome de Newton) = 2^n

A + jB + j^2C = (un truc)

A + j^2B + jC = (un autre truc)

Et comme la somme des racines de l'unité vaut 0 le système est facile à résoudre.
Peut-être qu'on peut s'appuyer sur cela pour résoudre ton exo...

[Tiruxa]

Perso j'écrirai A sous la forme

A = où

Ceci dit Lostounet donne la bonne solution pour calculer A

[t.itou29]

Hello,

Cela me rappelle un exercice que j'ai fait il y a quelques jours et qui ressemble à ça. Je ne sais pas si cela peut aider:
Il fallait calculer la somme des coeff. binomiaux alternés, c'est-à-dire allant à pas régulier.





Après, on peut former un système avec A, B et C (et peut-être les sommes que tu veux calculer...) en exploitant le fait que:

A + B + C = (binome de Newton) = 2^n

A + jB + j^2C = (un truc)

A + j^2B + jC = (un autre truc)

Et comme la somme des racines de l'unité vaut 0 le système est facile à résoudre.
Peut-être qu'on peut s'appuyer sur cela pour résoudre ton exo...

ça donne:


En ajoutant les 3 équations j'obtiens:

mais ça me ramène où j'étais: je sais pas comment exprimer simplement (ou alors si avec le cos mais c'est pas simple) le membre droit de l'égalité, quelque chose doit m'échapper mais quoi ?

[t.itou29]

Perso j'écrirai A sous la forme

A = où

Ceci dit Lostounet donne la bonne solution pour calculer A

En fait c'est la même que celle-ci:

Car le terme est égal à 3 si k est un multiple de 3 et à 0 sinon, les racines n-ièmes jouent un rôle de "filtre" (d'ailleurs c'est le titre de l'exercice: "the root of unity filter")
Vu la question 1, je pense qu'l faut travailler à partir de cette somme, d'ailleurs en développant je retombe sur celle de Lostounet mais après je bloque...