Question polynômes second degré

par **skertel** » 19 Juil 2009, 15:42

Bonjour à tous.
Je passe en terminale S, et je fais un peu de révisions en maths, ce qui m'amène à me poser certaines questions théoriques sur le cours (qui auraient peut-être dû survenir auparavant d'ailleurs :p).

Enfin bref, je sais que le sommet de la courbe d'un poly du 2nd degré a pour coordonnées (-b/2a; -delta/4a). (poly: x>>>ax²+bx+c).

Mais je voudrais savoir comment on obtient ce résultat (même si c'est du cours, on m'a juste donné le résultat, sans faire la démonstration il me semble).

Merci d'éclairer ma lanterne ^^

par **guigui51250** » 19 Juil 2009, 15:48

Salut,

Je n'ai pas fait la démonstration mais je pense que vu que tu as un polynome ax²+bx+c, tu dérive et tu étudie le signe de la dérivée pour avoir l'extremum

par **skilveg** » 19 Juil 2009, 15:53

Ou alors tu mets sous forme canonique, ça marche aussi.

par **oscar** » 19 Juil 2009, 16:30

Bonjour

t(x)=ax² +bx +c
On commence par mettre a ( # 0) en évidence
t(x) =a ( x² + b/a* x +c/a) =....
Continue!.

par **guigui51250** » 19 Juil 2009, 16:32

Personne n'aime mon idée sur la dérivée??
Je trouve la forme canonique plus difficile, c'est simple de se tromper en forme canonique.

par **Dinozzo13** » 19 Juil 2009, 16:39

guigui51250 a écrit:Personne n'aime mon idée sur la dérivée??
Je trouve la forme canonique plus difficile, c'est simple de se tromper en forme canonique.

Entièrement d'accord ^^, le calcul de la dérivée me paraît beaucoup plus simple ^^

par **guigui51250** » 19 Juil 2009, 16:40

Enfin comme ça skertel a deux méthodes différentes, s'il préfère passer par la forme canonique, qu'il le fasse comme ça, j'ai juste donné mon point de vu sur la forme canonique ^^

par **skertel** » 19 Juil 2009, 16:51

Ok pour la dérivée.

Mais pour la forme canonique, qui est simplement une autre forme d'expression du trinôme, je comprends comment l'obtenir, mais je ne comprends pas le passage entre le résultat a(x+b/2a)²-delta/4a et le fait que le sommet a pour abscisse "ce qui est au carré", et comme ordonnée "ce qui est additionné"...

par **skertel** » 20 Juil 2009, 07:16

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuup ^^

par **guigui51250** » 20 Juil 2009, 07:45

Dans mon cours de 1ère, j'ai la démonstration par la forme canonique. Une fois arrivée à la forma canonique (ce que tu as bien fait), il faut démarrer des coordonnées du sommet de la fonction carré puis utiliser les 2 translations qu'on voit dans la forme canonique pour arriver aux coordonnées du sommet d'une fonction polynôme.

par **skilveg** » 20 Juil 2009, 08:01

Skertel, tu as essayé de dessiner l'allure de la courbe (à partir de la forme canonique)?

par **oscar** » 20 Juil 2009, 08:25

Bonjour Soit f(x) = y = ax²+bx +c= a [(x+b/2a)² + ( 4ac-b²)/4a²]
Voici l' étude de cette fonctiion: on obtient l' abscisse et l' ordonnée demandée coordonnées du sommet

http://img149.imageshack.us/i/etudedefxyaxbxc.jpg/

par **oscar** » 20 Juil 2009, 08:41

Allure de la courbe du 2e degré étudiée suivant le signe de a

http://img249.imageshack.us/i/alluredelacourbedu2ed.jpg/

par **guigui51250** » 20 Juil 2009, 09:03

Voici ma methode :

Soit u la fonction u(x)=x² et P sa représentation graphique et O(0;0) le sommet de P
Considérons la fonction v telle que v(x)=u(x+b/2a) et P' sa représentation graphique. P' est l'image de P par la translation de vecteur -b/2a*i ; par conséquent, son sommet a pour coordonnées (-b/2a;0).
Considérons la fonction w telle que w(x)=v(x)-delta/4a² et P'' sa représentation graphique. P'' est l'image de P' par la translation de vecteur -delta/4a²*j ; par conséquent, son sommet a pour coordonnées (-b/2a ; -delta/4a²)
La fonction f(x) qui est ta forme canonique est de la forme f(x)=a.w(x), par conséquent Cf est un étirement (ou une contraction) de P'' donc son sommet a pour coordonnées (-b/2a ; -delta/4a²).

Compris?

par **skertel** » 20 Juil 2009, 11:49

La fonction f(x) qui est ta forme canonique est de la forme f(x)=a.w(x), par conséquent Cf est un étirement (ou une contraction) de P'' donc son sommet a pour coordonnées (-b/2a ; -delta/4a²)

C'est -delta/4a, nan?

C'est justement seulement cette histoire de multiplication que je ne comprends pas dans la translation de la courbe.
La forme canonique est f(x)= a(x+b/2a)² -delta/4a.

Je vois bien qu'il y a translation de vecteur - b/2a*i, puis de -(delta/4a)*j.
Donc le sommet est de coordonnées (-b/2a; -delta/4a).
Cependant, on a fait comme si il n'y avait pas le a devant (x+b/2a)² dans l'expression de la forme canonique. L'abscisse du sommet ne devrait-elle pas être multipliée elle aussi pas a?
Je vois bien que ce n'est pas le cas sur la courbe, mais je n'arrive pas à voir pourquoi...

par **guigui51250** » 20 Juil 2009, 12:43

Parce que quand tu multiplie ta fonction par un nombre, ça fait que étirer la courbe mais le sommet ne change pas de coordonnées.

par **skertel** » 20 Juil 2009, 15:59

Bah dans mon esprit, je me dis que vu que (x+b/2a)² est multiplié par a, alors l'abscisse du sommet obtenue par translation sera aussi multipliée par a ce qui donne (-b/2a)*a=-b/2.

Ce qui est bien sûr faux :s

par **guigui51250** » 20 Juil 2009, 16:50

Non, tu fais un melange d'écriture là.
Je suis parti de la fonction carré pour arriver a ta forme canonique, chaque étape est bien différente, donc sur le résultat, tu peux pas développé le a parce que si tu developpe le a dans ta forme trigo de départ, c'est pu du tout pareil.

par **skertel** » 20 Juil 2009, 17:16

Oui, mais dans ton raisonnement, l'ordonnée finale du sommet est fausse, il me semble...

par **skertel** » 21 Juil 2009, 06:52

En fait, dans ton raisonnement, les fonctions w et f ont le même sommet, c'est de là que doit venir l'erreur.

Donc si je comprends bien, quand une fonction est multipliée par un nombre, ce sera seulement l'ordonnée du sommet de la fonction qui sera multipliée par ce nombre, tandis que son abscisse restera la même.

Donc par exemple, on a une fonction quelconque g, dont la courbe représentative a pour sommet G(5;3). Si on prend la fonction 5g, alors le sommet aura pour nouvelles coordonnées (5;15).

Oui, ça me paraît logique...

Donc en gros, pour bien comprendre ça, il ne faut pas prendre la forme canonique dans sa forme finale f(x)= a(x+b/2a)² -delta/4a (qui sert juste à déterminer plus facilement les coordonnées du sommet), mais bien la forme
a [(x+b/2a)² - ( delta)/4a²], afin de bien comprendre que c'est la fonction entière qui est multipliée par le nombre a, ce qui ne change que l'ordonnée de son sommet...

C'est bien ça?

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