Question de limites et de variations

[egan]

Salut,
J'ai une question qui est un peu compliquée à tourner sous forme de mots; je vais faire de mon mieu.
En plus l'infini, une fonction ne peut tendre vers 0+ que si elle décroit et est positive en plus l'infini non ? Si elle est positive et qu'elle décroît en plus l'infini, elle ne peut pas tendre vers 0- ?
Je crois que c'est à peu près clair, lol.
@+ Boris.

[ft73]

Salut,
J'ai une question qui est un peu compliquée à tourner sous forme de mots; je vais faire de mon mieu.
En plus l'infini, une fonction ne peut tendre vers 0+ que si elle décroit et est positive en plus l'infini non ? Si elle est positive et qu'elle décroît en plus l'infini, elle ne peut pas tendre vers 0- ?
Je crois que c'est à peu près clair, lol.
@+ Boris.

Contre-exemple : abs(sin(x)/x) tend vers 0+ mais ne décroît pas. (A tracer sur un grapheur.)
Si une fonction est positive alors... (comment dire ?) elle n'est jamais négative !! Donc elle ne peut tendre vers 0-.

[egan]

Merci. Mais si elle croît en tendant vers 0+ et qu'elle est positive, elle va finir par ne plus tendre vers 0+, non ?
Ta seconde remarque est très vraie, lol. Pardonnez-moi pour cette monstruosité.

[ft73]

Merci. Mais si elle croît en tendant vers 0+ et qu'elle est positive, elle va finir par ne plus tendre vers 0+, non ?

J'ai du mal à saisir, mais peut-être que tu crois que le contraire de décroître c'est croître ? Ce qui n'est pas vrai...

[egan]

La fonction que tu donnes en contre exemple est une fonction sinusoïdale qui croit et décroit périodiquement. Je suis d'accord avec toi, en plus l'infini, la limite est 0+.
Mais si une fonction est strictement croissante sur R+, est-ce qu'elle peut tendre vers 0+ en plus l'infini ?

[ft73]

Mais si une fonction est strictement croissante sur R+, est-ce qu'elle peut tendre vers 0+ en plus l'infini ?

Non, car elle sera supérieure à un nombre strictement positif à partir d'un certain rang. Donc elle ne tendra pas vers 0 tout court.

[egan]

Ok, c'est bien ce que je me disais. Merci.