Puissances de 3 et unités

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bastienTerm
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puissances de 3 et unités

par bastienTerm » 01 Jan 2018, 22:56

bonjour,

je dois prouver à l'aide des congruences modulo 10 que le chiffre des unités de 3 puissance n est impair. Il y a différents sujets s'en rapprochant déjà existants mais je ne sais pas par où commencer.

pouvez vous m'éclairer svp ?

merci



infernaleur
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Re: puissances de 3 et unités

par infernaleur » 01 Jan 2018, 23:52

Salut,
on remarque que donc en effectuant la division euclidienne de n par 4 tu pourrais peut-être arriver a quelque chose.

bastienTerm
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Re: puissances de 3 et unités

par bastienTerm » 02 Jan 2018, 02:18

merci de ta réponse mais mon prof nous a bien spécifié de n'utiliser que les congruences. En fait l'exercice s'établit de cette façon :
1 - étudier les puissances de 3 et le chiffre des unités, faites une conjecture (3/9/7/1...)
2 - démontrer la conjecture à l'aide des congruences modulo 10
3 - quel est le chiffre des unités de 2017^2017 ?

pascal16
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Re: puissances de 3 et unités

par pascal16 » 02 Jan 2018, 12:59

tu as du trouvé que ça fini par 3 ou 7 alternativement.

une façon de faire :
tu as a étudier les 3^(4n+1) qui semblent finir par 3 et les 3^(4n+3) qui semblent finir par 7

démo possible : avec ce qu'a dit Infernaleur, 3^(4n+1) = 3^4n * 3 vaut quoi modulo 10 ?
et 3^(4n+3) vaut quoi modulo 10 ?

bastienTerm
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Re: puissances de 3 et unités

par bastienTerm » 02 Jan 2018, 13:13

pourquoi prend on 4n comme puissance ? c'est ca que je n'arrive pas à comprendre car d'après la question une je comprend de mon côté qu'il faut étudier tous les entiers naturels non ?
sinon 3^4 est congru à 1 modulo 10
merci à tous de prendre le temps d'étudier ma question et de répondre c'est sympa parce que la je suis perdu :/

infernaleur
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Re: puissances de 3 et unités

par infernaleur » 02 Jan 2018, 13:44

bastienTerm a écrit:pourquoi prend on 4n comme puissance


Car on remarque que et c'est cool parce que on pourra appliquer n'importe quelle puissance (entière) à ta congruence et sa ne changera pas le membre de droite !
(Quand tu auras lu la suite tu comprendras pourquoi j'ai décidé de faire cela).

bastienTerm a écrit:il faut étudier tous les entiers naturels non


Oui mais que dit le théorème de la division euclidienne que tu as vu en cours ? (*)
Il dit que si on fait la division euclidienne de n par 4, alors il existe un unique couple (q,r) d'entiers naturels (où q est le quotient et r le reste) tel que :

Et surtout le plus important : on a !!!!!!
Donc ton théorème il dit que tout nombre entier s'écrit de la forme 4q+r avec r variant de 0 à 3.

Par exemple 17=4*4+1 on a pris le couple (4,1) ou encore 26=4*6+2 on a pris le couple (6,2). Et tu peux t'amuser a faire ça avec n'importe qu'elle nombre entier tu trouveras toujours un UNIQUE couple (q,r) avec r variant de 0 à 3.

Bref donc ton nombre n il peut s'écrire de c'est 4 façons différentes :
,
,

et .
Il ne te reste plus qu'a regarder ce que donne 3^n modulo 10 dans c'est 4 cas différents, et c'est la que tu verras pourquoi on a décidé de faire la division euclidienne de n par 4.

(*) J'ai énoncé dans le cas de N la division euclidienne parce que il me semble qu'en terminale spé on l'énoncé pas dans Z.

pascal16
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Re: puissances de 3 et unités

par pascal16 » 02 Jan 2018, 15:02

le première question te donne, pour n pair : "tu as du trouvé que ça fini par 3 ou 7 alternativement."
n impair, s'écrit 2p+1 avec p entier relatif

mais les n impair pris alternativement, s'écrivent 4p+1 ou 4p+3 alternativement :
4p+1 donne la suite {1,5,9,13,...}
4p+3 donne la suite {3,7,11,15,...}
les deux réunis font bien tous les entiers impairs

infernaleur
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Re: puissances de 3 et unités

par infernaleur » 02 Jan 2018, 15:12

pascal16 a écrit:le première question te donne, pour n impair : "tu as du trouvé que ça fini par 3 ou 7 alternativement."
n impair, s'écrit 2p+1 avec p entier relatif

mais les n impair pris alternativement, s'écrivent 4p+1 ou 4p+3 alternativement :
4p+1 donne la suite {1,5,9,13,...}
4p+3 donne la suite {3,7,11,15,...}
les deux réunis font bien tous les entiers impairs

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Re: puissances de 3 et unités

par pascal16 » 02 Jan 2018, 15:32

J'ai pas vu de smiley qui fait simplement oui :
:amen:

bastienTerm
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Re: puissances de 3 et unités

par bastienTerm » 02 Jan 2018, 16:20

merci beaucoup pour toutes vos réponses !

je crois avoir enfin compris ! je vais voir si j'arrive à rédiger tout ca maintenant

 

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