A propos des vecteurs [Aide]

[destrukt]

Bonjour, tout le monde. J'ai terriblement besoin d'aide pour 1 petit exercice d'un DM. J'ai réussi à faire les autres tout de même. :++:

Pourriez vous m'aider :

Exercice 1

On considère un tetraedre ABCD.
Soient I le milieu de [BC], et E, F, G les points tel que :
AE = 2/3AB + 1/6BC + 1/3BD,
AF = AB + 1/2BC + AD et AG = 4AI + 2ID

1/a/ Exprimer les vecteurs EF et EG en fonction des vecteurs AB, AC et AD.
b/ En déduire que les point E, F et G sont alignés.

2/a/ Exprimer AE, AF et AG en fonction des vecteurs AB, AC et AD.
b/ En déduire que les points E, F et G appartiennent à la droite passant par A et de vecteur directeur u = AI + AD.
c/ Déterminer dans le repere (A ; u) l'abscisse de chacun des point E, F et G

[Chimerade]

Bonjour, tout le monde. J'ai terriblement besoin d'aide pour 1 petit exercice d'un DM. J'ai réussi à faire les autres tout de même. :++:

Pourriez vous m'aider :

Exercice 1

On considère un tetraedre ABCD.
Soient I le milieu de [BC], et E, F, G les points tel que :
AE = 2/3AB + 1/6BC + 1/3BD,
AF = AB + 1/2BC + AD et AG = 4AI + 2ID

1/a/ Exprimer les vecteurs EF et EG en fonction des vecteurs AB, AC et AD.
b/ En déduire que les point E, F et G sont alignés.

2/a/ Exprimer AE, AF et AG en fonction des vecteurs AB, AC et AD.
b/ En déduire que les points E, F et G appartiennent à la droite passant par A et de vecteur directeur u = AI + AD.
c/ Déterminer dans le repere (A ; u) l'abscisse de chacun des point E, F et G

Les vecteurs, c'est super simple : c'est un jeu de lego.
Par exemple, si on te demande d'exprimer BC en fonction de AB et AC, il suffit d'ecrire : BC = BA+AC = -AB+AC
Tu peux écrire (si ce sont des vecteurs bien sûr) : AZ = AB+BC+CR+RJ+JZ
sans refléchir, sans aucune supposition, quelles que soient les positions respectives de tous ces points : c'est toujours vrai.

Je fais la première question :
On doit d'abord traduire en langage vectoriel le fait que I est milieu de BC : AI = 1/2 AB + 1/2 AC

On te demande de calculer EF !
Tu peux par exemple "passer par A" et dire EF=EA+AF=-AE+AF
Puis, comme tu connais AE et AF tu ecris :

EF = -(2/3 AB + 1/6 BC +1/3 BD) + (AB + 1/2 BC + AD)
Mais, catastrophe ! Tu ne connais pas BC, ni BD ! Qu'à cela ne tienne, comme je l'ai dit plus haut tu peux écrire BC=BA+AC=-AB+AC, et BD=BA+AD=-AB+AD. Donc :
EF = -(2/3 AB + 1/6 BC +1/3 BD) + (AB + 1/2 BC + AD)
= -(2/3 AB + 1/6 (-AB+AC) +1/3 (-AB+AD)) + (AB + 1/2 (-AB+AC) + AD)

Ca a l'air assez compliqué : il ne faut pas se tromper, bien sûr, mais c'est très facile ! Le but du jeu c'est d'exprimer EF avec les trois seuls vecteurs AB, AC, AD. Ensuite, on regroupe les termes que l'on peut regrouper :

EF = 1/3 AB + 1/3 AC + 2/3 AD

Je te laisse faire la même chose avec EG : tu devrais trouver :

EG = 5/6 AB + 5/6 AC + 5/3 AD

Et là tu constate que EF et EG ont des coordonnées proportionnelles. En fait EG = (5/6)/(1/3) EF = (5/2) EF

Cela montre que EF et EG sont parallèles, et donc que E,F et G sont alignés !

La suite est du même ordre. Il faut que tu apprennes à le faire seul : c'est le but de l'exercice.

Bon courage

[Anonyme]

J'ai encore un peu de al à faire la deuxieme...

J'en suis à : EG = EA + AG = -AE + AG
= -(2/3 AB + 1/6 BC + 1/3 BD ) + 4 AB + 4 BI + 2 IB + 2 BD
= 10/3 AB + 5/3 BD - 1/6 BC + 2 BI

Apres je bloque un peu. Pourrait tu m'indiquer la démarche ? Merci beaucoup en tout cas pour ta précieuse aide.

[Anonyme]

J'arrive pas à développer 4AI + 2ID avec les vecteur AB, AC et AD

[Anonyme]

Bon j'ai réussi... enfin pour calculer EG j'ai le même résultat que toi sa fait plaisir !!!
Mais alors là je comprend pas du tout... Comment tu fais la question 2b) :cry:

et que veule t'ils dirent par : " déterminer dans le repere (A ; u ) l'abscisse de chacun des points E, F et G

En tout cas merci beaucoup !! le calcul vectorielle sa finit par rentrer

[Chimerade]

Comment tu fais la question 2b)

et que veule t'ils dirent par : " déterminer dans le repere (A ; u ) l'abscisse de chacun des points E, F et G

AE = 2/3 AB + 1/6 BC + 1/3 BD
AE = 2/3 AB + 1/6 (BA+AC) + 1/3 (BA+AD)
AE = (2/3-1/6-1/3) AB + (1/6 )AC + 1/3 AD
AE = (1/6) AB + (1/6 )AC + 1/3 AD

AF = AB + 1/2 BC + AD
AF = AB + 1/2 (BA+AC) + AD
AF = (1-1/2) AB + (1/2) AC + AD
AF = (1/2) AB + (1/2) AC + AD

AG = 4AI + 2ID

I est le milieu de BC, donc BI=1/2 BC
Je veux tout déterminer par rapport à AB, AC et AD donc :
BI=1/2 BC
(BA+AI)=1/2(BA+AC)
-AB+AI= -1/2 AB + 1/2 AC
AI= 1/2 AB + 1/2 AC

[indent]
Il va se soi qu'on peut faire autrement. Si I est le milieu de BC, il faut savoir par coeur que cela peut s'exprimer de plusieurs manières, par exemple : MI = 1/2 MB + 1/2 MC, quel que soit M, ou IB+IC=0. Mais je voulais simplement te montrer que même si tu as oublié ces formules, tu peux facilement t'en passer en partant d'une définition toute simple comme BI = 1/2 BC)
[/indent]

AG = 4AI + 2ID
AG = 4 (1/2 AB + 1/2 AC) + 2(IA+AD)
AG = 4 (1/2 AB + 1/2 AC) + 2(-AI+AD)
AG = 4 (1/2 AB + 1/2 AC) + 2(-(1/2 AB + 1/2 AC)+AD)
AG = (2 AB + 2 AC) + (- AB - AC + 2 AD)
AG = AB + AC + 2 AD

Je récapitule :

AE = (1/6) AB + (1/6 )AC + 1/3 AD
AF = (1/2) AB + (1/2) AC + AD
AG = AB + AC + 2 AD

Les coefficients étant proportionnels, on constate que :

AE = 1/6 AG
AF = 1/2 AG

Il en résulte que AEG sont alignés (première égalité) et que AFG sont alignés (deuxième égalité). Finalement les quatre points AEFG sont donc alignés.

Si l'on pose u = AI+AD
on constate que :

u = AI + AD
u = (1/2 AB + 1/2 AC) + AD
u = 1/2 AB + 1/2 AC + AD dont les coordonnées sont encore proportionnelles aux coordonnées de AE, AF, AG :

AE = (1/6) AB + (1/6 )AC + 1/3 AD
= (1/3) u
AF = (1/2) AB + (1/2) AC + AD
= u
AG = AB + AC + 2 AD
= 2u

Dans la droite déterminée par A et u, chaque point peut être repéré par sa position par rapport à l'origine (ici A) et un vecteur directeur de la droite (ici u).

Donc dire que : AE = (1/3) u c'est dire que l'abscisse de E est (1/3) dans le repère (A,u)
Donc dire que : AF = u c'est dire que l'abscisse de F est 1 dans le repère (A,u)
Donc dire que : AG = 2 u c'est dire que l'abscisse de G est 2 dans le repère (A,u)

J'espère que c'est assez clair.

Bon courage !

P.S. Il est essentiel que tu refasses tout cela tout seul, pour apprendre définitivement à manipuler les vecteurs, et tu n'auras plus jamais de problème !

[Anonyme]

Franchement, je t'admire en mathématiques. Sa à l'air tellement simple pour toi et tellement dur pour moi... :(

En fait en ce qui concerne les calculs vectoriels j'ai parfaitement compris. Mais comment fais tu pour dire que les vecteurs sont proportionnels ?

En tout cas merciii énormément, je vais essayé de tout refaire moi même. Merci encore

[Chimerade]

En fait en ce qui concerne les calculs vectoriels j'ai parfaitement compris. Mais comment fais tu pour dire que les vecteurs sont proportionnels ?

Si je vois que :

V1 = a * U + b * V + c * W (les majuscules représentent des vecteurs)

et que

V2 = a' * U + b' * V + c' * W

Je dis que les coordonnées sont proportionnelles si et seulement si la suite a,b,c est proportionnelle à la suite a',b',c', c'est-à-dire, si et selement si :



Une méthode simple est tout simplement de calculer ces trois fractions. Dans l'un de nos exemples, on avait :

AE = (1/6) AB + (1/6 )AC + 1/3 AD
AF = (1/2) AB + (1/2) AC + 1 AD

je pouvais calculer :



et


... et constater ainsi la proportionnalité cherchée.

Je pouvais aussi constater que le deuxième élément de la série (1/6),(1/6),(1/3) était égal au premier (le deuxième "1/6" est égal au premier "1/6"), et que le troisième en était le double(1/3 = 2 * 1/6), d'une part, et constater que le deuxième élément de la série (1/2),(1/2),(1) était égal au premier (le deuxième "1/2" est égal au premier "1/2"), et que le troisième en était le double (1 = 2 * 1/2), d'autre part. Et cela revient exactement au même.

C'est pas dur les maths, je t'assure !

[Anonyme]

ah oui en effet, j'ai bien compris là!
Bah ouais c'est tout bête en effet... En fait c'est toujours facile pour celui qui sait le faire.

T'as ptête raison les maths c'est pas dur.