Produit scalaire

[C.l]

Bonsoir,

je ne comprend toujours pas ce que c'est le produit scalaire, je sais l'utilisé mais si on me demande clairement c'est quoi je ne saurai pas répondre...

Pourrez-vous m'aider?

[ampholyte]

Bonjour,

Le produit scalaire est une opération qui s'appliquent sur des vecteurs (comme pour l'addition, multiplication, division pour des nombres).

Il permet de calculer un scalaire, un réel à partir de deux vecteurs.

Il s'utilise pour prouver l'orthogonalité par exemple, pour calculer une longueur de projection, ou encore d'un angle.

Est-ce que cela t'éclaire un peu plus ?

Sinon tu peux regarder ce lien :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_scalaire

[capitaine nuggets]

Salut !

J'aimerais rajouter que, contrairement aux idées reçues, le produit scalaire n'est pas un produit de vecteurs !

:++:

[Robic]

Vu qu'on l'appelle « produit scalaire », c'est donc un produit - plus précisément un produit scalaire (de même qu'une flûte à bec est une flûte - plus précisément à bec). Et il agit sur les vecteurs (en donnant un résultat scalaire, certes, d'où le qualificatif de « produit scalaire »). Du coup ça ne me choque pas qu'on dise que c'est un produit de vecteurs (mais pas n'importe quel produit, hein : un produit scalaire, c'est-à-dire un produit dont le résultat n'est pas le type des deux opérandes, mais un scalaire).

[ampholyte]

Vu qu'on l'appelle « produit scalaire », c'est donc un produit - plus précisément un produit scalaire (de même qu'une flûte à bec est une flûte - plus précisément à bec). Et il agit sur les vecteurs (en donnant un résultat scalaire, certes, d'où le qualificatif de « produit scalaire »). Du coup ça ne me choque pas qu'on dise que c'est un produit de vecteurs (mais pas n'importe quel produit, hein : un produit scalaire, c'est-à-dire un produit dont le résultat n'est pas le type des deux opérandes, mais un scalaire).

Je suppose que ce que capitaine nuggets voulait dire c'est que le produit scalaire n'est pas le même produit que le produit (de réel).

Il existe un autre produit utilisé sur les vecteurs que l'on appelle produit vectoriel sauf que ce produit a pour résultat, on pas un scalaire (obtention d'un réel) mais un vecteur.

k réel

ou

edit : correction TEX

[capitaine nuggets]

Je suppose que ce que capitaine nuggets voulait dire c'est que le produit scalaire n'est pas le même produit que le produit (de réel).

Il existe un autre produit utilisé sur les vecteurs que l'on appelle produit vectoriel sauf que ce produit a pour résultat, on pas un scalaire (obtention d'un réel) mais un vecteur.

k réel

Oui, c'était sous-entendu (j'aurais dû le préciser).
Par contre, on écrit plutôt pour le produit vectoriel :++:
(Après je ne sais pas, peut-être qu'on peut l'écrire comme tu l'as fait...)

[ampholyte]

Erreur de commande TEX, je corrige merci (et je rajoute une notation que l'on peut rencontrer également =)).

[C.l]

Merci beaucoup :-)

[capitaine nuggets]

Et comme j'aime bien la géométrie, je rajouterais encore que le produit vectoriel n'est pas défini dans le plan, mais dans l'espace oui !

Après, je ne sais pas s'il est défini pour les dimensions supérieures (je sais juste qu'il en existe un pour la dimension 7).

:+++:

Merci beaucoup

De rien :lol3:

[Robic]

Je suppose que ce que capitaine nuggets voulait dire c'est que le produit scalaire n'est pas le même produit que le produit (de réel).

Ah OK.

capitaine nuggets : en géométrie, le produit scalaire peut se définir en dimension quelconque par la formule (je ne sais pas si elle est encore vue au lycée) :


Cette formule, valable quelle que soit la dimension, suppose bien sûr que la norme a été définie préalablement non pas à partir du produit scalaire, mais à partir de la distance, ce qui est la démarche habituelle.

Ensuite, il faut savoir que la notion de produit scalaire a été étendue à des espaces plus ou moins abstraits, par exemple on peut la définir dans des espaces de fonctions, mais là on dépasse évidemment le programme du lycée... (l'intérêt de définir un produit scalaire de fonctions, c'est par exemple pour faire de l'approximation : puisqu'on a défini un produit scalaire, on a défini l'orthogonalité de fonctions, donc on peut faire de la projection orthogonale de fonctions, qui correspond à remplacer une fonction par une autre : c'est ce qu'on appelle une approximation, et la projection orthogonale a l'avantage d'être la projection qui minimise la distance, c'est-à-dire l'erreur d'approximation...)

[ampholyte]

(Tiens, les normes ne passent pas en Latex. Comment vous faites ?)

Personnellement j'utilise le double pipe || :

[capitaine nuggets]

Ah OK.

capitaine nuggets : en géométrie, le produit scalaire peut se définir en dimension quelconque par la formule (je ne sais pas si elle est encore vue au lycée) :

Je ne sais pas, mais ne tout cas, je l'ai vue quand j'étais au lycée donc...

Personnellement j'utilise le double pipe || :

Pareil :++:

[Sylviel]

Perso je ne suis pas convaincu que ce soit l'interprétation la plus simple.

Pour moi les deux formes les plus parlantes sont :
- xx'+yy' (en dimension 2) : on comprends assez bien ce qu'il se passe d'un point de vue analytique.
- xycos(x,y) avec l'interprétation physicienne : l'effet de y sur x c'est le produit scalaire de x.y (avec quelques explications supplémentaires sur les normes).

[Robic]

Merci ampholyte, effectivement ça marche !

Sylviel : en ce qui concerne mon intervention, c'était juste une réponse au message de capitaine nuggets qui évoquait le produit scalaire en d'autres dimensions que 2 et 3.