Problème de synthèse : étude d'une

[Chouyi]

Est ce que quelqu'un pourrait m'aider pour cet exercice ...
Merci d'avance.

f est la fonction définie sur D privé de 3 , par f(x) = (x+1)/(3-x)

1)a) Etudiez les variations de f sur D , ses limites aux bornes de D puis construisez sa représentation graphique Cf dans un repère orthonormal (O, vecteur i , vecteur j)
b) Demontrez que la droite d d'equation y=x est tangente à Cf en un point A dont vous déterminerez les coordonnées .
c) Tracez cette droite d dans le même repère que Cf .
2)On note (Un) le suite définie par la donnée d'un réel Uo de D et la relation de récurrence :
Pour tout n , U(n+1) = f(Un)
Quelle est la nature de la suite lorsque Uo = 1 ?
Le BUT du problème est d'étudier le sens de variation et la convergence de la suite suivant le choix de Uo .
3)On suppose Uo inférieur à 1 .
a) Utilisez les représentations graphiques du 1 pour conjecturer la monotonie et la convergence éventuelle de la suite (Un) .
b) Utilisez l'étude des variations de f faite au 1 pour justifier la proposition suivante :
" si Un inférieur à 1 alors U(n+1) inférieur à 1 "
Si un terme de la suite appartient à l'intervalle ] - infini ; 1[ , que pouvez vous dire de tous les termes qui le suivent ? ( On admettra ce résultat et ainsi l'existence de Un quel que soit n )
c) Demontrez que , pour tout entier n ,
U(n+1) - U(n) = [( U(n) - 1 ) au carré ] / ( 3 - U(n) )
Et déduisez-en que (Un) est strictement croissante .
d) On pose , pour tout entier n , Vn = 1 / ( U(n) - 1)
Calculez V(n+1) - V(n) pour prouver que la suite (Vn) est une suite arithmétique , précisez son terme et sa raison .