DM sur un problème de Synthèse : Les fonctions 1ereS

[aprer]

Bonjour,

J'ai actuellement un exercice que j'ai du mal a faire, le voici :

On considère la fonction f définie pour x1 par :
f(x) = (x2-x+2)/(x-1)
On note H la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère (O;I,J).
Soit g la fonction définie par g(x) = x et D sa représentation graphique.

1. A l'aide de la calculatrice, représenter graphiquement la fonction f.
2. Déterminer le réel a tel que f(x) = x + (a/(x-1)) pour tout réel x différent de 1.
a) Comparez f(x) et g(x) selon les valeurs de x.
b) En déduire la position de H par rapport a D.
3. Soit m un nombre quelconque.
Pour chaque valeur de m, on considère la fonction affine hm définie par :
hm(x) = mx-m+1
On note m sa représentation graphique.
a) Quelle est la représentation graphique de h1 ?
b) Vérifier que A(1;1) est un point de m pour tout m.
c) Montrer que chercher les points communs de H et de m revient à résoudre l'équation (E) : (1-m)x2+2(m-1)x+3-m = 0
d) Pour m=1, donner le nombre de solutions de l'équation (E). En donner une interprétation graphique.
e) On suppose m1, donner le nombre de solutions de cette équation selon les valeurs de m. Donner une interprétation graphique.
A l'aide du logiciel, représenter graphiquement la fonction hm. Vérifier les réponses obtenues aux questions précédentes.


Voila ce que j'ai fait :

2) (x) + (a)/(x-1) = (x^2 - x + a)/(x-1)
(x^2 - x + a) / (x-1) = (x^2 - x + 2) / (x-1) <--> a = 2

a) f(x)= (x+2)/(x-1) donc f(x)-g(x) = 2/(x-1). Donc :

f(x) - g(x) < 0 si x<1
f(x) - g(x) > 0 si x>1

b) H est au dessous de D sur ]-oo ; 1[
H est au dessus de D sur ]1 ; +oo[

3)a) hm(x) = mx - m + 1
h1(x) = 1*x - 1 + 1
= x

h1 est une fonction affine qui passe donc par l'origine du repère. De plus, sa représentation graphique correspond à la droite D.

b) je ne comprend pas


Merci de bien vouloir m'aider et me dire si j'ai fait des erreurs :)

[titine]

Bonjour,

J'ai actuellement un exercice que j'ai du mal a faire, le voici :

On considère la fonction f définie pour x1 par :
f(x) = (x2-x+2)/(x-1)
On note H la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère (O;I,J).
Soit g la fonction définie par g(x) = x et D sa représentation graphique.

1. A l'aide de la calculatrice, représenter graphiquement la fonction f.
2. Déterminer le réel a tel que f(x) = x + (a/(x-1)) pour tout réel x différent de 1.
a) Comparez f(x) et g(x) selon les valeurs de x.
b) En déduire la position de H par rapport a D.
3. Soit m un nombre quelconque.
Pour chaque valeur de m, on considère la fonction affine hm définie par :
hm(x) = mx-m+1
On note M sa représentation graphique.
a) Quelle est la représentation graphique de h1 ?


Voila ce que j'ai fait :

2) (x) + (a)/(x-1) = (x^2 - x + a)/(x-1)
(x^2 - x + a) / (x-1) = (x^2 - x + 2) / (x-1) a = 2

a) f(x)= (x+2)/(x-1) donc f(x)-g(x) = 2/(x-1). Donc :

f(x) - g(x) 0 si x>1 donc f(x) > g(x)
(il faut répondre à la question posée : "comparer f(x) et g(x)")

b) H est au dessous de D sur ]-oo ; 1[
H est au dessus de D sur ]1 ; +oo[

3)a) hm(x) = mx - m + 1
h1(x) = 1*x - 1 + 1
= x

h1 est une fonction affine qui passe donc par l'origine du repère. De plus, sa représentation graphique correspond à la droite D.

jusque là c'est bon !

b) Vérifier que A(1;1) est un point de M pour tout m.

Pour celà il suffit de vérifier que hm(1) = 1

c) Montrer que chercher les points communs de H et de M revient à résoudre l'équation (E) : (1-m)x2+2(m-1)x+3-m = 0

Les points communs de H et M ont des abscisses vérifiant : f(x) = hm(x)

d) Pour m=1, donner le nombre de solutions de l'équation (E). En donner une interprétation graphique.

Remplace m par 1 dans :
(1-m)x²+2(m-1)x+3-m = 0
Puis résous l'équation.
Combien a t elle e solution ?
Donc combien de points d'intersection ont H et M ?

[aprer]

Pour la c) , dans l'équation j'arrive à : x^2 - x + 2 - mx^2 + 2mx - m - x + 1 = 0


Mais je ne sais pas quoi faire apres

Merci de votre aide

[aprer]

pour la c) , j'arrive jusqu'à obtenir ceci : x² - mx² + 2mx - 2x - m + 3 = 0

Et donc si on factorise on retombe sur (E).

pour la d) je suis arrivé à :

x²+2x+2=0

J'ai résout Delta :

Delta = 4-8
= -4

Delta < 0 Donc l'équation n'a pas de solution et donc (E) n'a pas de solution.

Et l'interprétation graphique c'est que Delta(m) ne coupe pas H .

Est-ce correct ?

Merci

[aprer]

Remplace m par 1 dans :
(1-m)x²+2(m-1)x+3-m = 0
Puis résous l'équation.

Je trouve 2 = 0 (ce qui est faux)

Combien a t elle e solution ?

Elle n'a donc pas de solution.

Donc combien de points d'intersection ont H et M ?

Pas de point d'intersection.


Est-ce correct ?

[titine]

pour la c) , j'arrive jusqu'à obtenir ceci : x² - mx² + 2mx - 2x - m + 3 = 0

Et donc si on factorise on retombe sur (E).

Oui. C'est tout ce qu'on te demande.

[titine]

pour la d) je suis arrivé à :

x²+2x+2=0

Non ! Quand tu remplaces m par 1 ça ne donne pas ça !

[titine]

Je trouve 2 = 0 (ce qui est faux)



Elle n'a donc pas de solution.



Pas de point d'intersection.


Est-ce correct ?

Oui tout à fait.

[aprer]

Comment faire pour la e) svp ?

[aprer]

En fait pour la e) je me suis trompé c'est ps m1 mais m différent de 1.

[titine]

Si m est différent de 1 l'équation (1-m)x²+2(m-1)x+3-m = 0 est une équation du second degré. Pour savoir si elle a 0, 1 ou 2 solutions il faut calculer son discriminant :
Delta = 4(m-1)² - 4(1-m)(3-m) = 4(m-1)² + 4(m-1)(3-m) = 4(m-1)(m-1+3-m) = 8(m-1)
(Remarque : j'ai factorisé mais en développant tu trouveras la même chose !)
Il faut maintenant étudier le signe de Delta pour connaitre le nombre de solutions de l'équation, c'est à dire le nombre de points d'intersection ...............

[aprer]

Merci

Quand je fais en développant, je trouve 11m-3 donc je fais une erreur quelque part.


Peux-tu le faire en développant ?

[titine]

Delta = 4(m-1)² - 4(1-m)(3-m)
= 4(m² - 2m + 1) - (4 - 4m)(3 - m)
= 4m² - 8m + 4 - (12 - 4m - 12m + 4m²)
= 4m² - 8m + 4 - 12 + 4m + 12m - 4m²
= 8m - 8

[aprer]

Merci, ensuite j'ai fais ça :

3 cas
8m - 8 < 0 ; soit m < 1
8m - 8 = 0 ; soit m = 1
et
8m - 8 > 0 ; soit m > 1

C'est ça que je devais faire ?
Si oui, que dois-je faire ensuite ?

[aprer]

Ensuite j'ai fais ceci :

Donc , comme j'ai dit :
3 cas
8m - 8 < 0 ; soit m < 1
8m - 8 = 0 ; soit m = 1
et
8m - 8 > 0 ; soit m > 1

(E) a donc 2 solutions car quand 8m-m est négatif , il n'a pas de solutions . Quand 8m-8 = 0 il ya une solution mais comme m=1 , il n'ya pas des solution car m doit etre différent de 1. Enfin, quand 8m-8 est positif, il ya 2 solutions.

Il ya donc en tout 2 solutions .

C'est cela ?