Problème sur un calcul avec cosinus

[goudou]

Bonjour à tous.

Je bloque sur une question de DM qui doit sûrement être toute simple, mais qui m'empêche de faire la suite, étant donné qu'il s'agit de la 1ere question de l'énoncé :hum:

Enoncé : On a une fonction f(x) = 1/(x-cos[x])

Démontrer que l'équation x-cos(x)=0 admet une seule solution a sur R. En déduire Df.



La réponse doit être sous mon nez mais je ne la trouve pas !

Merci à tous !

[oscar]

Bonjour

1- cos x =0 <=> cos x = 1=> x = 0 (+2kpi)

domf = R\{0}

[annick]

Bonjour,
Si tu poses g(x)=x-cosx et que tu étudies les variations de cette fonction, que peux-tu dire de sa croissance? Entre quelles limites varie-t-elle?
Tu auras alors la réponse à ta question

[goudou]

Annick, Je ne comprends pas ! Il doit y'avoir une seule solution à x-cos(x), soit une seule réponse à x=cos(x). Je ne comprends pas où tu veux en venir en étudiant la limite, car je n'aurais que les bornes mais je n'aurais pas cette valeur précise de x !

Oulala je dois vraiment patauger là !

[annick]

g(x)=x-cosx
g'(x)=1+sinx sinx>-1 donc g'x) toujours croissante
limite en -oo= -oo
limite en +oo=+oo
Donc une fonction uniformément croissante entre -oo et +oo passe forcément par 0 et une seule fois

[goudou]

Annick, je comprends ton raisonnement, mais (roh je fais la rabat-joie :hum: ) il me faut la valeur de a, puisque je dois déterminer l'ensemble de définition !

[annick]

si l'on commence par te demander de démonter qu'il n'y a qu'une seule solution, c'est parce que tu ne peux pas l'atteindre directement.
Effectivement, je viens de vérifier en traçant y=x et y=cosx et en voyant où se trouve le point d'intersection et on trouve un truc du genre 0,74.
Donc il me semble que tu ne peux procéder que par approximation avec ta calculatrice. Dans ce cas, on appelle la valeur alpha et le domaine devient R privé de alpha avec alpha sensiblement égal à ...

[goudou]

Merci Annick !

J'avais tracé les même courbes que toi, y=x et y=cos(x) et j'avais donc ce point d'intersection qui répondait à l'équation égale à 0, mais j'ai trouvé que cette méthode était "empirique". J'ai donc pensé qu'il y'avait une autre solution mathématique.
(Au fait, le point a s'apelle effectivement dans l'énonce alpha, je l'ai renommé a puisque la touche alpha n'existe pas !)

encore merci !!!! :we: