Problème inéquation

[lopilu]

Bonjour,
Je suis devant un problème de mathématique dont je vais vous faire part car j'ai essayé de le résoudre pendant des heures et je ne comprend pas les solutions que je trouve.
Voici le problème :

Soit la fonction f définie par f(x) = (4x²-5)/(x²+x+1).

Montrer que, pour tout réel x, f(x)<5 et f(x)>-6.


J'ai donc résolu les inéquations suivantes : (4x²-5)/(x²+x+1) < 5 et (4x²-5)/(x²+x+1) > -6.
Le problème est que pour ces deux inéquations je ne trouve aucune solution.
Je vous prie de m'aider car je ne comprend absolument pas ce résultat ou une erreur que j'ai pu commettre.

Cordialement, Enzo.

[XENSECP]

Tu pourrais développer un peu ? Même dénominateur tout ça ? (ou bien tout simplement produit en croix en remarquant x²+x+1 > 0 pour tout x)

[lopilu]

Je te remercie pour ta réponse rapide, et j'ai donc développer ce qui me donne désormais :

(4x²-5)/(x²+x+1) < 5
(-x²-5x-10)/(x²+x+1) < 0
Après je pose l'équation (-x²-5x-10) = 0, puis je calcule delta ce qui me donne :
delta = (-5)² -4*(-1)*(-10) = -15

Et c'est ici le problème, delta est négatif donc il n'y a pas de solution.
Quand je pose ensuite (x²+x+1) = 0 il n'y a pas de solution non plus.
Et c'est ici que je ne comprends absolument pas ce que signifie (-x²-5x-10)/(x²+x+1) < 0 sans solution.

Exactement de même pour :

(4x²-5)/(x²+x+1) > -6
(10x²+6x+1)/(x²+x+1) > 0

Je pose les deux membres et en équation avec delta etc... et il n'y a pas de solution non plus...
Sauriez-vous m'aider s.v.p ?

[XENSECP]

Il n'y a pas "pas de solution"... Ca veut simplement dire que comme x²+x+1, -x²-5x-10 a un signe constant, ce que tu veux précisément pour prouver que POUR TOUT x, tu as bien l'inéquation.

Reste plus qu'à déterminer le signe du numérateur et dénominateur pour conclure.

[lopilu]

Bien évidemment ! Je te remercie énormément pour l'aide que tu m'as apporté ! :we: