Problème de fonction

[banane00712]

Bonjour,

J'ai un gros problème avec un exercice! Merci de m'aider svp.

Le graphique ci après représente, dans un repère orthonormal , la branche d'hyperbole d'équation y=1/x avec x>0.

A est le point de coordonnée (1;-1) et M de coordonnée (x;1/x). Le but est de déterminer s'il existe le point M pour lequel la distance AM est minimale. Voici la suite:

EDIT : le scan de livre est illégal.
Merci de recopier ton énoncé toi-même.

Merci de m'aider svp car je n'arrive pas à avancer....

[Sve@r]

Bonjour,

J'ai un gros problème avec un exercice! Merci de m'aider svp.

Le graphique ci après représente, dans un repère orthonormal , la branche d'hyperbole d'équation y=1/x avec x>0.

A est le point de coordonnée (1;-1) et M de coordonnée (x;1/x). Le but est de déterminer s'il existe le point M pour lequel la distance AM est minimale. Voici la suite:

EDIT : le scan de livre est illégal.
Merci de recopier ton énoncé toi-même.

Merci de m'aider svp car je n'arrive pas à avancer....

1a => évident
1b => formule de la distance entre 2 points du plan (formule issue de Pythagore)
2 => calcul de la dérivée
3a => étude de fonction => toute une méthodologie à utiliser (signe de f', sens de f, etc...)
Bon, je vais pas continuer à énumérer les points car tout le cheminement est minutieusement décrit. Donc qu'as-tu fait jusqu'à présent ???

[banane00712]

Je poste la suite:

1)b)calculer en fonction de x, d(x)=AM²

2) Démontrer que pour tout x>0 d'(x)=2f(x)/x^3 où f est un polynôme de degré 4.

3)a) Étudier les variations de f(x) sur I=]0;+oo[

b)Démontrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution dans I.

Déterminer un encadrement de cette solution d'amplitude 10^-2. Déduisez-en le signe de f sur I.

4) déduisez de ce qui précède les variations de d et concluez.

5)Justifiez que si M est le point le plus proche de A alors (AM) est perpendiculaire à la ta,gente en M à l'hyperbole.

Voici mes réponses:

1------------------------------------
AM étant une distance donc une grandeur positive si AM est minimale son carré l’est aussi
2------------------------------------
A{1,-1} M{x,1/x} ==> AM{x-1, 1/x+1} ==> d(x)=AM^2=(x-1)^2+(1/x+1)^2 =(x^2*(x - 1)^2 + (x + 1)^2)/x^2=(x^4-2 x^3+2 x^2+2 x+1)/x^2
3------------------------------------
d’(x)=2*(x^4-x^3-x-1)/x^3
d’(x)=2*(x^4-x*(x^2+1)-1)/x^3 =2*(x^4-1+x*(x^2+1))/x^3
=2*((x^2+1)*(x^2-1)+x*(x^2+1))/x^3=2*(x^2+1)*(x^2-x-1)/x^3

x^2+1 > qq soit la valeur de x, (x^2-x-1 admet deux racines qui sont
x =(1 - V5)/2, x=(1+ V5)/2 et f(x) admet une solution unique dans l’intervalle ] 0 ; oo[

après je bloque :s