Probleme de demonstration

[cattivo]

Bonjour,
J'ai un dm de prévu pour mardi prochain et une question me pose probleme :hum:

Je vous expose le pbm :

2°) a) Soient deux réels a et b
Montrer que a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²)
Et a²+ab+b² = (a+½b)²+¾b²

Pour cela c'est ok j'ai reussi, mais je pense en avoir besoin pour après donc je vous les donnes

2°) b) Soient a et b tels que a < ou = b. Démontrer que : a³-b³ < ou = 0

Et la je bloque :hum:

J'ai commencé par faire :

a < ou = b donc a-b < ou = 0
si a³-b³ < ou = 0
alors (a-b)(a²+ab+b²) < ou = 0
(a-b)[(a+½b)²+¾b²] < ou = 0

Et la... Le noir total ! Je vois vraiment pas comment suivre.
Si vous pouvez m'aider sa serai vraiment sympa

2°)c) En deduire le sens de variation de la fonction cube sur |R

Voila les dernieres questions :
3°)a) Justifier que a³-b³ a le meme signe que a-b
La je pense que dire que : si on élève deux réel par une meme puissance alors leur signe ne change pas.

3°)b) en déduire le signe de 8x²-27, puis celui de x³+1

Ercer a tous se qui répondront a ce message !! :king2:

[Lostounet]

Bonjour,
J'ai un dm de prévu pour mardi prochain et une question me pose probleme :hum:

Je vous expose le pbm :

2°) a) Soient deux réels a et b
Montrer que a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²)
Et a²+ab+b² = (a+½b)²+¾b²



J'ai commencé par faire :

a < ou = b donc a-b < ou = 0
si a³-b³ < ou = 0
alors (a-b)(a²+ab+b²) < ou = 0

C'est bon, mais pour que tu puisses multiplier les deux membres de l'égalité par (a²+ab+b²) et garder l'ordre, il faut que (a²+ab+b²) soit strictement positif; On peut avoir recours à sa deuxième forme pour le confirmer:
(a+½b)²+¾b² est strictement positif (somme carrée + truc positif * carré), donc (a²+ab+b²) l'est aussi.

Ainsi, l'ordre est conservé. En remarquant que a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²), tu peux conclure.

[Mathusalem]

C'est bon, mais pour que tu puisses multiplier les deux membres de l'égalité par (a²+ab+b²) et garder l'ordre, il faut que (a²+ab+b²) soit strictement positif; On peut avoir recours à sa deuxième forme pour le confirmer:
(a+½b)²+¾b² est strictement positif (somme carrée + truc positif * carré), donc (a²+ab+b²) l'est aussi.

Ainsi, l'ordre est conservé. En remarquant que a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²), tu peux conclure.

Dans sa demarche, cattivo n'a pas procede ainsi. Il n a pas multiplie les deux cotes de l inegalite par le terme. Il a pose l'hypothese, puis ensuite est parti de a^3 - b^3.

Ce que te dit Lostounet, c'est de proceder ainsi.

Hypothese : a-b <= 0.
Sachant que le signe de l'inégalité ne change pas par la multiplication d'un terme positif, et que a^2 + ab + b^2 est toujours positif ou egal a zero, on a que
(a-b)*(a^2 + ab + b^2) <= 0*(a^2 + ab + b^2) = 0
Ainsi,
(a-b)*(a^2 + ab + b^2) <= 0
On conclut que donc
(a-b)*(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3 <= 0 si a <= b.

[Lostounet]

Ah oui tu as raison, il a procédé différemment.. Mais c'est faisable dans les deux cas:
S'il tient à continuer sa démarche, il faut dire que (a - b) est négatif (ou nul) et (a^2 + ab + b^2) positif (ou nul) donc leur produit est <= 0 ...?

[cattivo]

Ah mais c'est tout bête en faite, mais j'avoue que j'avais pas du tout trouvée --'

Par contre une derniere petite question svp.
Le 3°)a) J'ai chercher avec des amis aujourd'hui et on a rien trouvée, par ce qaue on ne connait pas la valeur de x. Et une fonction cube peut etre positif ou négatif, donc c'est une peut complexe.

Merci beaucoup ! ;D