Proba

[nico033]

Bonjour jai un exos de proba que je narrive pas a resoudre pourriez vous maider sil vous plait merci,

Amélie est en vacances dans une tres grande métropole. elle doit traverser cette ville en suivant l'avenue principale qui est jalonnée de nombreux feux tricolores.
Pour tout entier naturel n supérieur ou egal a 1, on note En: "Amélie est arretée par le nieme feu rouge ou orange et En (avec une barre dessus) qui est l'évenement contraire (le feu orange est considéré comme un feu rouge).
Soit pn la proba de En et qn la proba de En (avec la barre dessus).
la proba que le premier feu tricolore soit rouge ou orange vaut 1/8.
On suppose que les deux conditions suivantes sont réalisées.
la proba que le (n+1)ème feu tricolore soit rouge ou orange, si le neme feu est rouge ou orange, vaut 1/20.
la proba que le (n+1)eme feu tricolore soit rouge ou orange si le neme feu est vert vaut 9/20.

On sinteresse tout dabord aux deux premiers feux tricolores. Completer un arbre pondéré rendant compte de la situation.

On se place maintenant dans le cas général
donner les proba conditionnelles pEn, (En+1) et p En(avec une barre)(En+1).

Montrer que, pour tout n appartartenant a N
pn+1 = 1/20 pn+9/20 qn (sachant que En+1 = (En+1 inter En) union (En+1 inter En (barre dessus).

Deduisez en l'expression de pn+1 en fonction de pn

[armor92]

Bonjour nico033,

Pour ta première partie, tu dois décrire un arbre de situations suivant :

1Er feu rouge : P = 1/8
------2eme feu rouge P = 1/20
------2eme feu vert P = 19/20

1er feu vert : P= 7/8
------2eme feu rouge P = 9/20
------2eme feu vert P = 11/20

[nico033]

daccord monsieur , pourriez vous maider pour la suite sil vous plait merci davance

[armor92]

D'après les hypothèses de l'énoncé :
pEn (En+1) = Probalité ( En+1 sachant En) =
Probabilité( (n+1)ème feu tricolore soit rouge ou orange, sachant neme feu est rouge ou orange) = 1/20.

pEn(avec une barre)(En+1) = Probalité ( En+1 sachant En(avec une barre)) =
Probabilité( (n+1)ème feu tricolore soit rouge ou orange, sachant neme feu est vert) = 9/20.

pn+1 = P(En+1) = P(En+1 inter En) + P(En+1 inter En (barre dessus)) =
pEn (En+1) * P(En) + pEn(avec une barre)(En+1) * P(En(avec une barre)) =

Comme P(En) = pn et P(En(avec une barre)) = qn

on a pn+1 = 1/20 pn + 9/20 qn

Comme qn = 1 - pn
On a :
pn+1 = 1/20 pn + 9/20 (1-pn) = 9/20 - 2/5 pn

[nico033]

je vous en remercie je vais regarder cela de plus pres et si jai un probleme je vous demanderai merci encore monsieur, par contre jai un autre exercice puis je vous le montrer