Proba

[Jkookarmy]

Je n’arrive pas la dernière question de cet énoncé, s’il vous plaît j’ai besoin d’aide je bloque dessus depuis la semaine dernière.

Un joueur de tennis a une probabilité p de réussir son premier service. Si le joueur rate son premier service, il a ajours une probabilité q de réussir son deuxième service.
1- on suppose dans cette question que p=0,9 et q=0,3. Quelle est la probabilité que le joueur fasse une double faute (c’est à dire qu’il rate ses deux services) ?
2- exprimer en fonction de p et q la probabilité que j’me joueur fasse une double faute ? (Celle la je suis pas sûre du tout)
3- on suppose que q=1-p. Pour quelle valeur de p la probabilité de faire une double faute est-elle maximale ?

[mathelot]

bonsoir, on peut faire un arbre avec les différentes possibilités.
Soit les résultats R=réussite,E=échec

la proba d'enchainer deux échecs (E;E) est de (1-p)(1-q)

si q=1-p , 1-q=p, la proba d'enchainer deux échecs (E;E) est de p(1-p)
la proba maximale est obtenue pour p=1/2 comme l'indique le tableau de variation de la fonction x-->x(1-x)
sur l'intervalle [0;1]

[Jkookarmy]

Bonsoir, pourriez vous m’expliquer comment vous avez obtenu p(1-p) s’il vous plait je comprends le déroulé mais pas vraiment le fond.
Je ne comprends pas vraiment comment vous avec obtenu un tableau de signe de x(1-x) car ça donne x^2 - x (nous n’avons jamais fait de tableau de signe de ce type, excepté polynôme)

[Black Jack]

Salut,

mathelot a tout écrit.

j'ai super détaillé ci-dessous, mais , à partir de ce qu'avait écrit mathelot, tu DOIS arriver à le faire seul.

mathelot a écrit : "... comme l'indique le tableau de variation de la fonction x-->x(1-x)"
Cela ne revient certainement pas, comme tu sembles le penser, à passer par "un tableau de signe de x(1-x) "

1 et 2)
Proba de rater un 1er service : (1-p)
Proba de rater un second service (le 1er ayant été réussi) : (1-q)

Proba de rater les 2 services : P = (1-p).(1-q) (1)
Si p = 0,9 et q = 0,3, alors P = 0,1 * 0,7 = 0,07

3)
Si on a q = 1-p, alors (1) ---> P = (1-p)*(1 - (1-p)) = (1-p)*p

Sous cette condition (q = 1-p), la proba maximale d'une double faute est pour la valeur de p (dans [0 ; 1]) qui rend f(p) = p(1-p) maximale.

Il suffit donc d'étudier les variations de f(p) pour p dans [0 ; 1] : (mathelot a ici utilisé la variable x au lieu de p pour moi, c'est évidemment équivalent).

f(p) = p(1-p)
f'(p) = (1-p)-p = 1-2p

f'(p) > 0 pour p dans [0 ; 1/2[ --> f est croissante
f'(p) = 0 pour p = 1/2
f'(p) < 0 pour p dans ]1/2 ; 1] --> f est décroissante

f a un maximum pour p = 1/2 et donc ...