Proba

[t.itou29]

Bonjour,
Je cherche une réponse "simple" au problème suivant:
"On considère un jeu de 52 cartes, on sélectionne au hasard 26 cartes et on les replace sur le dessus du paquet (dans l'ordre relatif où elles étaient). On note Y la variable aléatoire comptant le nombre de cartes restées à la même place, quelle est son espérance ?"

Par des calculs un peu bourrins, j'ai trouvé et je suis pas sur que ce soit ça. J'ai calculé la proba que la carte numéro k soit à la même place mais c'est un peu long et surtout la simplicité du résultat fait fortement penser qu'il y une autre méthode. Sachant que c'est un problème d'un chapitre sur la symétrie, il doit avoir une astuce mais que je ne trouve pas...
Quelqu'un a une idée ? :we:

[nodjim]

Les cas où la carte ne change pas de position sont peu nombreux:
La carte 1 du paquet.
Les cartes 1 et 2.
Les cartes 1,2 et 3.
etc...
Attention ce sont des cas non indépendants
Il faut aussi ajouter le cas des cartes se situant après la dernière carte piochée.

Si tu es d'accord avec ça, déja.

[t.itou29]

Les cas où la carte ne change pas de position sont peu nombreux:
La carte 1 du paquet.
Les cartes 1 et 2.
Les cartes 1,2 et 3.
etc...
Attention ce sont des cas non indépendants
Il faut aussi ajouter le cas des cartes se situant après la dernière carte piochée.

Si tu es d'accord avec ça, déja.

Oui, je suis d'accord qu'il n'y a pas beaucoup de cas où la carte de ne change pas de position, c'est pour ça une espérance d'environ 4 ne parait pas trop délirant. Pour le trouver j'ai raisonné ainsi:

Pour , la carte numéro k ne change pas de position ssi toutes les cartes de 1 à k de ne sont pas sélectionées: cas possibles équiprobables.

Pour , la carte numéro k ne change pas de position ssi toutes cartes de k à 52 sont sélectionnées: cas

En notant Xk la variable aléatoire valant 1 si la carte k ne change pas de position et 0 sinon, on a et en calculant la dernière somme (grâce aux résultats précédents) je suis tombé sur 106/27, est-ce que ça semble correct ?