Proba

[Cameliaa.rose-xO]

Bonjour tout le monde, excuser moi du dérangement mais la il faut absolument m'éclairer sur cet exercice, je ne vois pas de piste...

Une cible et ses aires
Un carré de côté 20 cm est partagé selon les 10 zones suivantes :
-un disque noir D de rayon 1 cm
-8 secteurs S1, S2...S8 de même aire, délimités par les frontières du disque noir et d'un disque D' de même centre et de rayon 9 cm
- une zone R entre le disque D' et le bord du carré.
On place un point aléatoirement dans le carré. La probabilité de placer le point dans une zone quelconque du carré est proportionnelle à l'aire de cette zone.


1a)Soit Z une zone. Démontrer que p(Z)= A(Z) / 400 où A(Z) désigne l'aire de Z en cm²

b) Déterminer la probabilité p(D) pour que le point soit placé dans le disque D.

c) Déterminer la proba p(S1) pour que le point soit placé dans le secteur S1.

Pour la 1a)Tout d'abord je connais l'aire du carré = Lxl = 20 x 20 = 400
et faut-il calculer l'aire du cercle?

2) A cette situation est associée un jeu :
-un point placé dans le disque D fait gagner 10 euros
-un point placé dans le secteur Sk fait gagner k euros pour tout k appartenant à {1 2 3 4 5 6 7 8 }
-un point placé dans la zone R fait perdre 4 euros
On note x la variable aléatoire égale au gain algébrique obtenu.
a) déterminer la loi de X.
b) déterminer l’espérance de X

[annick]

Bonjour,
as-tu fait une figure ? Définissons toutes les zones possibles :
Dans le petit disque. Appelons AD cette aire. Que vaut-elle ?
Dans la partie comprise entre les bords du carré et le grand disque. Appelons AR cette aire. Que vaut elle ?
Dans un des huits secteurs. Appelons AS1,AS2, etc chacune de ces aires. Que vaut-elle ?


Bon pour ta question 1)a), tu sais effectivement que l'aire totale est de 400.
Tu sais aussi que la probabilité de placer le point dans une zone quelconque du carré est proportionnelle à l'aire de cette zone. Donc tu as tout de suite la réponse proposée, puisque la probabilité est donnée par le nombre de cas possibles (ici l'aire de la zone) sur le nombre de cas total (ici l'aire totale)

[Cameliaa.rose-xO]

Bonjour,
as-tu fait une figure ? Définissons toutes les zones possibles :
Dans le petit disque. Appelons AD cette aire. Que vaut-elle ?
Dans la partie comprise entre les bords du carré et le grand disque. Appelons AR cette aire. Que vaut elle ?
Dans un des huits secteurs. Appelons AS1,AS2, etc chacune de ces aires. Que vaut-elle ?


Bon pour ta question 1)a), tu sais effectivement que l'aire totale est de 400.
Tu sais aussi que la probabilité de placer le point dans une zone quelconque du carré est proportionnelle à l'aire de cette zone. Donc tu as tout de suite la réponse proposée, puisque la probabilité est donnée par le nombre de cas possibles (ici l'aire de la zone) sur le nombre de cas total (ici l'aire totale)

Je ne suis vraiment pas sûr du resultat et de la démarche que j'ai prise alors la voici quand même :
Pour l'aire d'un cercle on a pi x r²
3.14 x 1 x 1 = 3.14 soit pi
Aire D' = pi x 9 x9
= 254,34
Aire AR = Aire du carré - aire D'
= 400 - 254,34
= 145,66
En revanche, j'ai fais une figure mais je vois pas comment calculer AS1 AS2...?

[annick]

Bon, pour avoir des calculs plus simples, on peut laisser pi pour le moment.
Donc,
Aire D=pi
Aire D'= 81 pi
Aire AR= 400-81 pi


Aire S1=Aire S2=....=(Aire D'-Aire D)/8=....

[Cameliaa.rose-xO]

Bon, pour avoir des calculs plus simples, on peut laisser pi pour le moment.
Donc,
Aire D=pi
Aire D'= 81 pi
Aire AR= 400-81 pi


Aire S1=Aire S2=....=(Aire D'-Aire D)/8=....

Je vois comment calculer les aires mais alors la probabilité p(D)= aire D / 400 ?
et p(S1)= aire S1/ 400?

[annick]

Oui, c'est cela

[Cameliaa.rose-xO]

Oui, c'est cela

Très bien, seulement pourquoi j'obtiens par un total de 1 dans mon tableau déterminant la loi de X?

On a bien une perte de 4 euros pour p = Aire AR / 400
Un gain de 10 euros pour p(Z)= aire D /400
Et p(Z)= aire d'-aire d/8 le tout sur 400 ?

[annick]

Pour moi, ça marche :

P(D)=pi/400
P(Sk)=10pi/400 ( (81pi-pi)/8=10pi)
P(R)=(400-81pi)/400

La probabilité totale est donc (pi+8(10pi)+(400-81pi))/400=400/400=1