Proba : Saut de puce

[Malicia]

Bonjour

J'ai une question et je suis convaincu qu'elle est bête mais je bloque.

Une puce se déplace sur un axe gradué, à chaque saut elle se déplace d'une unité de manière aléatoire et équiprobable vers la gauche ou la droite.
Elle part de l'origine et effectue 30 sauts.


J'aimerai trouver la loi de probabilité de cette marche.
C'est évident que cela va être une loi discrète, et vu que le fait d'avancer ou de reculer est équiprobable ca va ressembler à une loi binomiale.

Il est clair que la proba d'arriver en +30 ou en -30 est de 1/2^30

la loi d'arriver en X = k doit etre comb(30,k) * (1/2)^k (1/2)^(30-k) = comb(n,k) (1/2)^n

mais cette proba ne me plait pas car j'ai plus de chance d'arriver en 10 qu'en 8 selon cette loi ce qui n'est pas le cas.


Merci de m'aider le plus rapidement que vous pouvez

[Joker62]

Bonsoir,

Ce n'est pas une binomiale.
Une binomiale, c'est une variable qui prend ses valeurs dans {0,1,...,n} là ça prends les valeurs dans {-30,-29,...,29,30}

On note X le nombre de déplacement à droite
On note Y le nombre de déplacement à gauche

Alors X suit une binomiale de paramètre n = 30 et p = 0.5
Tout comme Y

La position finale est donnée par Z = X - Y

[Malicia]

Bonsoir,

Ce n'est pas une binomiale.
Une binomiale, c'est une variable qui prend ses valeurs dans {0,1,...,n} là ça prends les valeurs dans {-30,-29,...,29,30}

On note X le nombre de déplacement à droite
On note Y le nombre de déplacement à gauche

Alors X suit une binomiale de paramètre n = 30 et p = 0.5
Tout comme Y

La position finale est donnée par Z = X - Y

merci beaucoup de m'avoir répondu

Mais, j'ai encore un soucis,

Comment puis je calculer avec une loi la probabilité d'arriver à -2 ou à 8 par exemple.
Je cherche une formule qui me permette directement de l'avoir

Merci

[Joker62]

Pour faire ça, il faut s'aider d'une nouvelle relation.

Que peux-tu me dire de la valeur de X + Y en sachant que :

La puce fait 30 saut
X est le nombre de saut vers la droite
Y est le nombre de saut vers la gauche

Peux-tu alors exprimer Y en fonction de X ?
Peux-tu me donner Z en fonction de X finalement ?

[Joker62]

Jute comme ça, Z prend ses valeurs dans {-30 ; -28 ; -26 ; ... ; 26 ; 28 ; 30 }

Il faut enlever les impairs :)

[Malicia]

Jute comme ça, Z prend ses valeurs dans {-30 ; -28 ; -26 ; ... ; 26 ; 28 ; 30 }

Il faut enlever les impairs

Pour faire ça, il faut s'aider d'une nouvelle relation.

Que peux-tu me dire de la valeur de X + Y en sachant que :
La puce fait 30 saut
X est le nombre de saut vers la droite
Y est le nombre de saut vers la gauche

Alors X+Y est compris entre -30 et 30 mais je vois pas quoi dire d'autre

Merci de m'aider je ne suis pas très doué en proba

[Joker62]

Comme X compte le nombre de sauts à droite, que Y compte le nombre de sauts à gauche et qu'en tout on a 30 sauts, on peut dire que X + Y = 30

On a donc Y = 30 - X

Et donc Z = X - Y = 2X - 30

Ainsi : Pour k = 2*k' (avec k' dans -15 ; -14 ; ... ; 14 ; 15)

P(Z = k) = P( 2X - 30 = 2k' ) = P(X = k' + 15)

Mais la loi de X est connue vu que c'est une binomiale :)

[Malicia]

Comme X compte le nombre de sauts à droite, que Y compte le nombre de sauts à gauche et qu'en tout on a 30 sauts, on peut dire que X + Y = 30

On a donc Y = 30 - X

Et donc Z = X - Y = 2X - 30

Ainsi : Pour k = 2*k' (avec k' dans -15 ; -14 ; ... ; 14 ; 15)

P(Z = k) = P( 2X - 30 = 2k' ) = P(X = k' + 15)

Mais la loi de X est connue vu que c'est une binomiale

Merci, donc si je suis bien votre raisonnement,

P(Z=k)=P(X=k'+15)=comb(n, k'+15) (1/2)^n

donc la proba d'arriver en 2 est de P(Z=2)=P(X=1+15)=comb(30,16) (1/2) ^16

est ce exact ?

[Joker62]

(1/2)^30 non ? :)

[Malicia]

(1/2)^30 non ?

Oui désolée je suis allée trop vite !

Merci encore !!!!!

[Joker62]

Au plaisir ;)