Principe du raisonnement par récurrence

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Rebelle_
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Principe du raisonnement par récurrence

par Rebelle_ » 07 Sep 2010, 18:59

Coucou à toutes (je sais, je rêve) et à tous ! =D

Bon, je suis partie pour ma question journalière... :P
Aujourd'hui, ce sera à propos du raisonnement par récurrence. J'en ai bien compris le principe, c'est plutôt très logique. On définit une propriété dont on veut vérifier qu'elle est vraie pour tout entier naturel n. On commence par vérifier sa véracité au premier terme (n_0) puis on se dit que si le fait qu'elle soit vraie pour un rang n implique qu'elle le soit aussi pour un rang n+1, alors la propriété est vraie quel que soit n. Jusque là ça va. ^^'

J'ai étudié quelques exemples. Le seul truc un peu embêtant c'est la rédaction, mais bon ça va aller aussi.

Dans mon cours, il est écrit que "Si P(n) est vraie pour la première valeur de n et si P(n) vraie implique P(n+1) vraie, alors P(n) est vraie pour tout n".
Je me demandais alors si le terme "implique" au milieu de la phrase ne pouvait pas se transformer en "équivaut à". Parce que si l'hypothèse de réucurrence est vraie et dit "P(n) implique P(n+1)", alors on a aussi "P(n+1) implique P(n)" non ? C'est-à-dire que ça marche aussi dans l'autre sens. Si c'est le cas, alors on peu parler d'équivalence non ? :/
Et si ce n'est pas le cas, quels sont les contre-exemples qui existent ?
C'est juste une question de vocabulaire, mais les équivalences sont plus puissantes que les implications... Enfin je crois !


Autre petit soucis : est-il possible d'avoir une propriété vraie en P(n_0) (qui passe donc l'initialisation) mais soit fausse - soit juste après, soit à n'importe quel moment ? Si oui, est-ce qu'on le verra dans l'hérédité ? J'imagine que oui, sinon le raisonnement par récurrence aurait une sacrée faille :/

Bref, sinon ça va ^^' J'ai tout compris (à part ces quelques points étranges) !

Merci beaucoup =)

Bonne soirée.



windows7
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par windows7 » 07 Sep 2010, 19:03

salut

implique c'est pas equivaut .
bah tu peux voir P0 vraie et P1 fausse P2 fausse P3 vraie
heu a oui oui on ne pourrait pas montrer l heredite en effet

Rebelle_
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par Rebelle_ » 07 Sep 2010, 19:07

D'accord, implique n'est pas équivaut (je le conçois bien), mais peut-on écrire "*P(n) implique P(n+1)* équivaut à *P(n+1) implique P(n)*" ?

windows7
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par windows7 » 07 Sep 2010, 19:10

faux.

tiens de la poule ou de l'oeuf qui est arrivé le premier ? ( ca revient a ca en gros )

on suppose P vraie a partir de k

donc pk => pk+1 => pk+1

donc pk => pk-1 ?

bref

benekire2
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par benekire2 » 07 Sep 2010, 19:10

Salut Rebelle :id:

tu as raison, si une propriété était vraie au rang P(0) par exemple et qu'elle passe l'hérédité aussi et que par dessus le marché il y ait un n tel que P(n) ne soit pas vrai ( oh le vilain !! ) ça mettrai en défaut le beau principe de récurrence. Donc c'est pas possible de voir un truc du genre (enfin pas avec ces axiomes sur N)


Cela dit ta question est très légitime, et une théorie mathématique c'est fondée sur le rejet de cet axiome ( ou de celui aui dit que toute partie finie de N est majorée au choix ) , il me semble que c'est l'analyse non standard.

Windows >> C'est l'oeuf j'en suis sûr !

windows7
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par windows7 » 07 Sep 2010, 19:12

mdr bene !

j'ai rajouté 2 lignes pour etre plus explicite.

Rebelle_
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par Rebelle_ » 07 Sep 2010, 19:15

windows7 a écrit:faux.

tiens de la poule ou de l'oeuf qui est arrivé le premier ? ( ca revient a ca en gros )

on suppose P vraie a partir de k

donc pk => pk+1 => pk+1

donc pk => pk-1 ?

bref

Ben justement, vu qu'on init. à k on se fiche de savoir ce qu'il se passe à k-1, non ? :/

PS : c'est la poule qui est arrivée la première, ça a été prouvé et c'est le résultat de l'évolution des espèces ;)

Rebelle_
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par Rebelle_ » 07 Sep 2010, 19:16

benekire2 a écrit:tu as raison, si une propriété était vraie au rang P(0) par exemple et qu'elle passe l'hérédité aussi et que par dessus le marché il y ait un n tel que P(n) ne soit pas vrai ( oh le vilain !! ) ça mettrai en défaut le beau principe de récurrence. Donc c'est pas possible de voir un truc du genre (enfin pas avec ces axiomes sur N)

Coucou !

Ok, merci :) ^^

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Olympus
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par Olympus » 07 Sep 2010, 19:20

Salut à tous :zen:
Rebelle_ a écrit:c'est la poule qui est arrivée la première, ça a été prouvé et c'est le résultat de l'évolution des espèces ;)


benekire2 a écrit:Windows >> C'est l'oeuf j'en suis sûr !


Non pour Rebelle . Oui pour benekire . La poule n'est qu'une invention faite par l'œuf pour pouvoir refaire un autre œuf . Conclusion : l'œuf est arrivé en premier .

Rebelle_
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par Rebelle_ » 07 Sep 2010, 19:23

Ah ah, elle n'est pas de toi celle-là, je l'ai déjà entendue x)

En fait, plus rigoureusement, l'oeuf qui a donné la "première poule" a été pondu par une espèce "pré-poule" (il s'agirait même d'un dinosaure).

Enfin bon, on ne va pas débattre de ça ici :P

benekire2
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par benekire2 » 07 Sep 2010, 19:24

Rebelle_ a écrit:PS : c'est la poule qui est arrivée la première, ça a été prouvé et c'est le résultat de l'évolution des espèces ;)


Bah je suis pas biologiste mais ca me semble plus logique que la poule arrive après, en effet la poule est sortit d'un oeuf, mais ne me dit pas qu'une poule l'as pondu, tout les oiseaux pondent des oeufs ... :we:

benekire2
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par benekire2 » 07 Sep 2010, 19:26

Rebelle_ a écrit:Enfin bon, on ne va pas débattre de ça ici :P


Why not ?

C'est de la récurrence après tout ,

Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 07 Sep 2010, 19:26

Salut !

Rebelle_ a écrit:à propos du raisonnement par récurrence

Ca me fait penser que la récurrence n'est plus vue en 1re S :cry:
(il me vient deux ou trois exo sympa sur la récurrence ^^)

Au sujet du "équivaut à", il te suffit de démontrer ta propriété par récurrence puis de démontrer sa réciproque.

ex : Montrer qu'une suite de raison est arithmétique si et seulement si, pour tout :

Conjecture :
est arithmétique de raison donc :



POn peut affirmer que pour :

Raisonnement par récurrence :
Si alors , l'égalité est vérifiée.
Supposons que pour tout entier naturel , , montrons qu'alors .
Par définition :
donc, pour tout entier naturel :

Réciproque :
Si pour tout , alors :
donc est une suite arithmétique de raison .

Rebelle_
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par Rebelle_ » 07 Sep 2010, 19:26

Je ne fais que diffuser la bonne parole de la prof de Bio ;)
Sinon, j'imagine que des sites sérieux pourraient nous renseigner ^^

Rebelle_
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par Rebelle_ » 07 Sep 2010, 19:28

Coucou Dinozzo :)

Il y a vraiment besoin de récurrence pour démontrer ce théorème (qui découle de la définition) ? ^^

Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 07 Sep 2010, 19:30

ben quand on ne connaît pas encore la formule, oui ça peut servir

Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 07 Sep 2010, 19:31

Sinon, si ça te dit, j'ai deux ou trois exo sur la récurrence, tu les veux ?
(ils sont pas long)

Rebelle_
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par Rebelle_ » 07 Sep 2010, 19:32

Ah ben on l'avait démontrée sans récurrence (puisque l'on voit cette formule en Première justement avant la récurrence en Terminale).
Enfin, c'est quand même intéressant pour débuter. :)

Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 07 Sep 2010, 19:33

Rebelle_ a écrit:Coucou Dinozzo :)

Il y a vraiment besoin de récurrence pour démontrer ce théorème (qui découle de la définition) ? ^^

C'était également un exemple ^^
Si j'avais pris un truc plus difficile, tu ne l'aurais peut-être pas compris :we:

benekire2
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par benekire2 » 07 Sep 2010, 19:38

Salut dinno !

Tient d'ailleurs vous avez du (re) voir la récurrence en début de sup, le premier DS c'est passé comment ?

 

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