Preuve de théorème

[Anonyme]

bonsoir, je n'arrive pas a faire cet exercice, pourriez vous m'aider?
merci d'avance.

l'intitulé est le suivant:

si le carré d'une fraction dont les numérateurs et dénominateurs sont des entiers vaut 2 alors cette fraction ne peut pas être irréductible.
puis, en déduis qu’ aucun nombre dont le carré est 2 est le résultat d'un nombre entier divisé par un autre nombre entier.

[Ben314]

Salut.
Ton hypothèse ("si le carré...") s'écrit où sont des entiers.
On peut la réécrire .
1) Que pense tu de la parité de ? (justifier)
2) Cela signifie que l'on peut écrire
3) Si on remplace dans la formule , on obtient alors ... et, en raisonnant comme au 1), on en déduit que ...
4) Conclusion.

[Anonyme]

désoler de répondre si tard,
mais je ne vois pas ce que vous voulez dire par "parité".

[Rebelle_]

Bonjour =)

Pour étudier la parité d'un nombre il faut dire si celui-ci est pair ou impair. Un carré est toujours *...*, pourquoi ?

:)

[Anonyme]

a oui, merci.

effectivement p est paire , un carré est toujours positif.
ce qui signifie que p=2;)q ou q est un nombre entier positif.

est ce juste?

[Sve@r]

a oui, merci.

effectivement p est paire , un carré est toujours positif.
ce qui signifie que p=2;)q ou q est un nombre entier positif.

est ce juste?

Non, (2q²) ce n'est pas 2;)q !!!

[Lostounet]

Sinon, je ne vois pas comment p est un entier avec p = ;)2 * q (q entier)..?

[Anonyme]

alors je ne vois vraiment pas ce que sa pourrait être.

[Le Chaton]

Le but c'est de trouver que ton hypothèse de départ est FAUSSE. On raisonne par l'absurde ... on part du principe qu'elle est vraie , on trouve une incohérence donc elle est fausse. :briques:

[Rebelle_]

a oui, merci.

effectivement p est paire , un carré est toujours positif.

Hum oui, un carré est toujours positif mais ce n'est pas ce que je voulais te faire voir

Soit un nombre pair. On peut l'écrire sous la forme 2p, donc (2p)² = 4p² et 4p² est divisible par 2 donc pair. On en déduit que le carré d'un nombre pair est pair.

Soit un nombre impair. On peut l'écrire sous la forme 2p+1, donc (2p+1)² = 4p² + 4p + 1 = 2*(2p²+2p+1/2) est divisible par 2 donc pair. On en déduit que le carré d'un nombre impair est pair.

Conclusion : tout carré d'entier est pair. Comprends-tu ? =)

[Rebelle_]

a oui, merci.

effectivement p est paire , un carré est toujours positif.

Hum oui, un carré est toujours positif mais ce n'est pas ce que je voulais te faire voir

Soit un nombre pair. On peut l'écrire sous la forme 2p, donc (2p)² = 4p² et 4p² est divisible par 2 donc pair. On en déduit que le carré d'un nombre pair est pair.

Soit un nombre impair. On peut l'écrire sous la forme 2p+1, donc (2p+1)² = 4p² + 4p + 1 = 2*(2p²+2p)+1 n'est pas divisible par 2 (à cause du +1), il est donc impair. On en déduit que le carré d'un nombre impair est impair.

Que conclure quant à la parité de p ?

[Anonyme]

p est impaire?

[Rebelle_]

Pas exactement :/

On a vu qu'on pouvait écrire p² = 2q², donc p est...

[Anonyme]

pair puisque un carré est toujours positif. c'est la seule réponse que je vois.

[Rebelle_]

Le fait qu'il soit positif n'a pas grand chose à voir là-dedans :/
Ce qui compte c'est que p² soit le double d'une certaine quantité, donc p² est pair...

[Anonyme]

a ok.
mais je ne vois pas en quoi sa peut dire que la fraction est irréductible.

[Rebelle_]

Si tu suis les indications de Ben314 ça devrait aller tout seul ;)

[Anonyme]

je comprend vraiment rien!!!