Preuve/application du binôme de Newton

[Cptain Guguss]

Bonjour, je suis actuellement en 1ere S. Je dois rendre pour la fin de la semaine une preuve en relation avec le binôme de newton (ou du moins qui semble l'être), la formule à prouver est :

n
;)
k=0

Cela fait près d'une semaine que je me remue les méninges, sans succès. Je me suis donc résolu à demander de l'aide sur ce forum.

Quelqu'un pourrait-il me donner une indication sur la démarche à suivre ?

Merci d'avance.

[ajout :] Recherche complémentaire effectuée :

J'ai cherché un autre moyen que l'utilisation du binôme de newton pour résoudre ce problème. J'ai calculé les différents termes de la somme pour n=0 et ce jusqu'à n=4. J'ai remarqué que la somme des termes avec "k pair" est l'opposé de la somme des termes avec "k impair". On remarque également que pour n=0 et n=1, cette somme n’existe pas.

Ainsi:

n

k=0







Je pense que l'on peut ici exploiter la symétrie des coefficients binomiaux :

...


Je ne sais pas si ça peut faire avancer la résolution, mais bon, je partage ce que je trouve

[LeJeu]

Bonjour, je suis actuellement en 1ere S. Je dois rendre pour la fin de la semaine une preuve en relation avec le binôme de newton (ou du moins qui semble l'être), laquelle est :
(-1)^k nCk k^n-1=0

Merci d'avance.

je ne suis pas su de comprendre tes notations
mais en gros tu ne cause pas de ( a +b) ^n

avec le cas particulier a=1 et b =-1 ?

[Cptain Guguss]

je ne suis pas su de comprendre tes notations
mais en gros tu ne cause pas de ( a +b) ^n

avec le cas particulier a=1 et b =-1 ?

non, j'ai deja essayé ce cas particulier, mais le k^(n-1) pose problème.

[Archibald]

Peut-être que ça peut t'aider, mais à vrai dire, je ne comprends pas trop ta question. Tu pourrais poser le problème en Latex ?

[Cptain Guguss]

Latex, c'est a dire ?

[Cptain Guguss]

Comme ça ?

n
;)
k=0

[Robic]

Je n'ai pas compris la question.
- Tu dois trouver une propriété qui se démontre à partir de la formule que tu indiques (c'est un cas particulier du binôme) ? C'est ce que suggère le texte du message, mais c'est bizarre comme question...
- Ou bien tu dois démontrer cette formule en utilisant la formule générale du binôme ? Si c'est le 2è cas, il faut que tu trouves a et b pour que ça donne cette formule. Un indice : si on posait a=1 et b=1, on obtiendrait une formule avec à gauche une somme compliquée et à droite 2^n (forcément : 1+1 = 2). Là il faut avoir 0^n à droite...

[Cptain Guguss]

Je n'ai pas compris la question.
- Tu dois trouver une propriété qui se démontre à partir de la formule que tu indiques (c'est un cas particulier du binôme) ? C'est ce que suggère le texte du message, mais c'est bizarre comme question...
- Ou bien tu dois démontrer cette formule en utilisant la formule générale du binôme ? Si c'est le 2è cas, il faut que tu trouves a et b pour que ça donne cette formule. Un indice : si on posait a=1 et b=1, on obtiendrait une formule avec à gauche une somme compliquée et à droite 2^n (forcément : 1+1 = 2). Là il faut avoir 0^n à droite...

Je dois effectivement prouver cette formule... j essaie cette methode ce soir.

[Cptain Guguss]

Le problème avec la formule du binome de newton c'est qu'on a :
n

k=0


or la formule que je veux prouver est :

n

k=0

On a les termes qui pourraient être facilement obtenus... mais pas le


J'ai donc cherché un autre moyen pour résoudre ce problème. J'ai calculé les différents termes de la somme pour n=0 et ce jusqu'à n=4. J'ai remarqué que la somme des termes avec "k pair" est l'opposé de la somme des termes avec "k impair". On remarque également que pour n=0 et n=1, cette somme n’existe pas.

Ainsi:

n

k=0







Je pense que l'on peut ici exploiter la symétrie des coefficients binomiaux :

...


Je ne sais pas si ça peut faire avancer la résolution, mais bon, je partage ce que je trouve

[Kikoo <3 Bieber]

Le problème avec la formule du binome de newton c'est qu'on a :
n

k=0

Je t'arrête là
Maintenant pose a=1 et b=-1 et regarde la preuve se dérouler toute seule devant tes yeux ébahis !

PS : Je n'avais pas vu que Lejeu avait mis la réponse ! Cptain Guguss, regarde un peu ce que l'on te dit au lieu de te lancer dans plein de calculs

[Cptain Guguss]

Je t'arrête là
Maintenant pose a=1 et b=-1 et regarde la preuve se dérouler toute seule devant tes yeux ébahis !

PS : Je n'avais pas vu que Lejeu avait mis la réponse ! Cptain Guguss, regarde un peu ce que l'on te dit au lieu de te lancer dans plein de calculs

sauf que ce que je veux obtenir c'est :



C'est le le problème...

[LeJeu]

sauf que ce que je veux obtenir c'est :



C'est le le problème...

La tendance du moment semblerait douter de ton énoncé ...
confirmes-tu ?
D'ailleurs ? tu as vérifié pour quelques valeurs de n ? disons n= 2, 3 ?

[Cptain Guguss]

La tendance du moment semblerait douter de ton énoncé ...
confirmes-tu ?
D'ailleurs ? tu as vérifié pour quelques valeurs de n ? disons n= 2, 3 ?

Je suis certain de l'énoncé. Et n doit appartenir aux entiers naturels (du moins je pense... car si n n'est pas un entier naturel, le coefficient binomial ne peut pas etre exprimé.).
En revanche, j'ai fais des tests en changeant les valeurs de n. L'égalité semble vrai, sauf pour n=0 et n=1 ou la somme n'est pas définie. Par contre, a partir de n=23, l'égalité n'est plus vrai. Mais c'est peut etre ma calculatrice qui montre ses limites je ne sais pas. Quelqu'un pourrait-il me confirmer que pour n=23, l'égalité n'est plus valable ?

[LeJeu]

Je suis certain de l'énoncé. Et n doit appartenir aux entiers naturels (du moins je pense... car si n n'est pas un entier naturel, le coefficient binomial ne peut pas etre exprimé.).
En revanche, j'ai fais des tests en changeant les valeurs de n. L'égalité semble vrai, sauf pour n=0 et n=1 ou la somme n'est pas définie. Par contre, a partir de n=23, l'égalité n'est plus vrai. Mais c'est peut etre ma calculatrice qui montre ses limites je ne sais pas. Quelqu'un pourrait-il me confirmer que pour n=23, l'égalité n'est plus valable ?

c'est donc que nous avons répondu trop vite

[Kikoo <3 Bieber]

sauf que ce que je veux obtenir c'est :



C'est le le problème...

C'est bien vrai ! J'ai lu trop vite aussi.
Tu as essayé une récurrence sur n ?

[Cptain Guguss]

Je pense qu'un raisonnement par récurrence sur n pourrait bien marcher. Mais ce raisonnement n'étant pas au programme de première, je ne suis pas encore tres a l'aise avec... Je vais cependant essayer...

merci à kikoo <3 bieber pour l'idée

[chan79]

salut

si, au lieu de mettre dans la formule, on met ou , ça a l'air de faire 0 aussi.

On peut peut-être chercher une récurrence de cette façon ???

[Robic]

Effectivement c'est un peu plus compliqué... Qu'est-ce que tu connais déjà comme formule avec les combinaisons ? Je soupçonne qu'il faut combiner plusieurs de ces formules, que ce n'est pas trouvable en partant de zéro.

(Là je viens d'essayer de le démontrer par récurrence en utilisant juste la formule du triangle de Pascal et ça ne me mène nulle part. Et comme je ne connais pas par coeur les autres formules...)

[Cptain Guguss]

Effectivement c'est un peu plus compliqué... Qu'est-ce que tu connais déjà comme formule avec les combinaisons ? Je soupçonne qu'il faut combiner plusieurs de ces formules, que ce n'est pas trouvable en partant de zéro.

(Là je viens d'essayer de le démontrer par récurrence en utilisant juste la formule du triangle de Pascal et ça ne me mène nulle part. Et comme je ne connais pas par coeur les autres formules...)

formules de combinaisons ?... je n'en ai aucune, ce doit être au programme de terminal... Mais si c'est faisable par combinaisons, je pense que le prof ne verra aucun inconvénient à ce qu'on les utilise. Il faut juste que je regarde un cours sur internet.

[chan79]

Salut
On peut démontrer d'abord que

en effet



on fait de même avec

on en déduit

puis


jusqu'à
un peu long à rédiger mais ça devrait marcher, j'espère ...