PPCM

[Pseuda]

Bonjour,

Je lis dans un livre de maths TeS spé maths, dans un exercice corrigé (!) :

Pour tout n entier : PPCM (2(n+1) ; 2(2n+1)) = 4(n+1)(2n+1)
et : PPCM (4n²; 3n(n+1))= 12n²(n+1)

Qu'en pensez-vous ? Quels sont les PPCM plus haut en fonction de n ?

[beagle]

je m'embrouille faciel dans les PGCD et PPCM, mais dans le premier truc pourquoi du 4, le x2 est dans les deux nombres, il est petit commun non?

[Lostounet]

Bonjour,

Je lis dans un livre de maths TeS spé maths, dans un exercice corrigé (!) :

Pour tout n entier : PPCM (2(n+1) ; 2(2n+1)) = 4(n+1)(2n+1)
et : PPCM (4n²; 3n(n+1))= 12n²(n+1)

Qu'en pensez-vous ? Quels sont les PPCM plus haut en fonction de n ?

Bonjour Pseuda,
Le premier est clairement faux pour n=0
Ppcm(2;2)=2 et pas 4
Le bon serait 2(n+1)(2n+1) avec un pgcd de 2
Et le produit pgcd*ppcm vaut bien le produit des deux nombres

[zygomatique]

salut

2(n + 1) - 1(2n + 1)= 1 donc pgcd (n + 1, 2n + 1) = 1

donc pgcd (2(n + 1), 2(2n + 1)) = 2

donc ppcm (2(n + 1), 2(2n + 1) = 2(n + 1)(2n + 1)


pour le deuxième c'est bien compliqué

pgcd (4n², 3n(n + 1)) = n pgcd(4n, 3n + 3)

et pgcd (4n, 3n + 3) est un diviseur de 12

il faudrait étudier tous les cas pour être certain ...

(peut se faire avec un tableur en étudiant tous les cas de n [12] pour voir)

[Lostounet]

Tu as raison Zygomatique, j'ai parlé trop vite.
Par exemple, pour n = 3, le pgcd vaut 36

[Pseuda]

Bonsoir et merci,

Oui, n ou n+1 peut être divisible par 3 et/ou par 4. Et PGCD (4n ; 3n+3)= PGCD (n-3 ; 12) = 1, 3, 4 ou 12 selon les valeurs de n.

Il suffit ensuite d'étudier les congruences de n-3 modulo 3, 4 et 12, pour obtenir les divisibilités. On aboutit à, selon les cas, PPCM = 1, 3 , 4 ou 12 * n²(n+1)...

[zygomatique]

et 6 ?

[Pseuda]

et 6 ?

Bonjour,

Hum oui bien sûr, j'ai été trop vite. Reprenons tranquillement.

PGCD(4n² ; 3n²+3n) = n x PGCD(4n ; 3n+3) = n x PGCD(n-3 ; 12). On étudie les congruences de n-3 modulo 12 :

PGCD.jpg (38.31 Kio) Vu 781 fois

Sachant que pour p reste de la division euclidienne de n-3 par 12, n-3 p (12), 0p11, on a :
PGCD (12; n-3) = PGCD (12 ; 12k+p) = PGCD( 12 ; p).

Puis : PPCM(4n² ; 3n²+3n) = = 1, 2, 3, 4, 6 ou 12n²(n+1).

[zygomatique]

en fait je m'aperçois maintenant qu'on pouvait raisonner ... en regardant un peu mieux ...

posons x = 4n² et y = 3n(n + 1)

il est évident que n et n + 1 sont premiers entre eux : (1)(n + 1) + (-1)n = 1

donc aussi n² et n + 1 puisque (1)n² + (1 - n)(1 + n) = 1

donc n²(n + 1) divise P = ppcm (4n², 3n(n + 1))

ensuite si n = 3p et n + 1 = 4q alors 3p + 1 = 4q <=> 4q - 3p = 1 est vrai pour une infinité de couples puisque 3 et 4 sont premiers entre eux ....

q = 1 + 3k et p = 1 + 4k donc n = 3(1 + 4k)

alors x = 4n² = 4 * 9 * (1 + 4k)² = 36(1 + 4k)² et y = 3n(n + 1) = 9(1 + 4k)(12k + 4) = 36(1 + 4k)(1 + 3k)

donc D = pgcd (4n², 3n(n+ 1)) = 36(1 + 4k) = 12n car 1 + 4k et 1 + 3k sont premiers entre eux (4(1 + 3k) - 3(1 + 4k) = 1)

et P = xy/D = xy/(12n) = n²(n + 1)

ce me semble-t-il ....

[Pseuda]

Bonjour,

Ok. Oui c'est le cas où n 3 (12), auquel cas, n+1 4 (12), n est un multiple de 3, n+1 de 4, pour faire court, on n'a pas besoin de "rajouter" ces nombres dans le PPCM, et comme n et n+1 sont premiers entre eux : PPCM(4n² ; 3n²+3n) = n²(n+1).

Encore une perle : PPCM (2x ; 3y) = 6 PPCM (x ; y). J'ai compris, le but de ces exercices corrigés, c'est de corriger la correction.

[zygomatique]

Bonjour,

Ok. Oui c'est le cas où n 3 (12), auquel cas, n+1 4 (12), n est un multiple de 3, n+1 de 4, pour faire court, on n'a pas besoin de "rajouter" ces nombres dans le PPCM, et comme n et n+1 sont premiers entre eux : PPCM(4n² ; 3n²+3n) = n²(n+1).

Encore une perle : PPCM (2x ; 3y) = 6 PPCM (x ; y). J'ai compris, le but de ces exercices corrigés, c'est de corriger la correction.