Ppcm

[kadaid]

Bonjour
le pgcd et le ppcm de tois entiers sont bien liés par la relation:
pgcd(a,b,c)*ppcm(a,b,c)=a*b*c ou je me trempe!

pgcd(3,15,30)=3
ppcm(3,15,30)=30
3*30=90
3*15*30=1350
L'égalité n'est pas vérifiée!

Ou tout simplement l'égalité est vérifiée que pour deux entiers ?

Merci pour vos commentaires

[bolza]

Bonjour,

attention :

Souvent, pgcd(a,b,c) et ppcm(a,b,c) sont des raccourcis d'écriture pour pgcd(a,pgcd(b,c)) et ppcm(a,ppcm(b,c))
donc la propriété avec deux nombres, ne se généralise pas aussi facilement !

Une manière de prouver le résultat avec deux nombres, c'est des les décomposer en facteur premier.
Si tu prend deux nombres a et b. Le pgcd de a et b est obtenu en prenant les plus petits exposants des facteurs premiers, et le ppcm en prenant le plus grand des exposants.

Par exemple si le facteur 3^2 apparaît dans a et si le facteur 3^3 apparaît dans b, alors comme 2 < 3,
3^2 sera un fateur de pgcd(a,b) et 3^3 sera un facteur de ppcm(a,b).

Donc 3^5 sera un facteur de a*b mais aussi un facteur de pgcd(a,b)*ppcm(a,b).
Et on peut faire pareil avec tous les facteurs premiers.

Maintenant Si tu as trois nombres a,b et c.

Supposons que 3^2 soit un facteur de a, que 3^3 soit un facteur de c et que 3^4 soit un facteur de b.
Ici pour connaitre l'exposant du facteur 3 dans pgcd(a,b,c) on prend le minimum de 2,3 et 4 qui est 2.
Donc 3^2 sera facteur de pgcd(a,b,c). Et pour le ppcm on prend le maximum (i.e 4) et donc 3^4 sera facteur
de ppcm(a,b,c) et donc dans le produit pgcd(a,b;c) * ppcm(a,b,c) ici le facteur 3^3 du nombre c n'est pas pris en compte (alors qu'il sera pris en compte dans le produit a*b*c). Autrement dit on aura le facteur 3^6 dans le produit pgcd(a,b,c) *ppcm(a,b,c) alors qu'on aura le facteur 3^9 dans le produit a*b*c.

j'espère ne pas avoir été trop confus dans mes explications ^^'