Ppcm

[Anonyme]

Bonjour,

J'ai un tout petit exo que je ne comprends, quelqu'un aurait l'aimabilité de m'aider ?

c'est un système :

PPCM(x,y)=210PGCD(x,y)
y-x=pgcd(x,y)

-------------------------------Ce que j'ai fait
il revient à résoudre ppcm(x,y)=210(y-x) mais je ne sais pas continuer

[becirj]

Bonjour
Appelons d le PGCD et m le PPCM.
x=dx' et y=dy' avec x' et y' premiers entre eux. On a alors m=dx'y'.
La première équation s'écrit alors : dx'y'=210 d soit x'y'=210.
La deuxième équation s'écrit dy'-dx'=d soit d(y'-x')=d soit y'-x'=1.
y'=x'+1.
En remplaçant dans l'autre équation : x'(x'+1)=210.
Equation du second degré à résoudre en ne conservant que la solution positive. Je te laisse pousuivre.

[flight]

salut

voici une autre solution , tu choisiras selon celle qui te semble plus estethique.

on a :

PPCM(x,y)=210PGCD(x,y)
y-x=pgcd(x,y)


par definition ppcm(x,y)=x.y/pgcd(x,y)
alors xy/pgcd(x,y)=210.pgcd(x,y).

soit xy=210.pgcd(x,y)² ou soit encor ;

xy=210.(y-x)²

ce qui peut s'ecrire aussi 210(x²+y²)=421.xy

421 étant un nombre premier certifié , il n'est divisible que par 1 et par lui meme.

en posant (x²+y²)=p et xy=q

on obtient 210.p=421.q ou 210/q=410/p ici p ne peut valoir que
1 ou 410 , 410 est alors approprié.

il vient donc pour obtenir l'égalité q=210

on aboutit donc au syteme suivant x²+y²=421
et xy=210

ce qui ce ramène à l'équation suivante x^4-421x²+210²=0

en posant x²=u on se ramène à u²-421u+210²=0

dont les solutions sont u=225 et u'=196

il vient donc 2 valeurs pour x ;

x'=14 et x"=15

comme x et y jouant des roles symetriques dans le sytéme d'équation :
x²+y²=421 et xy=210

on peut prendre x=14 et y=15.

voila !


a+