Position courbe/tangente

[linotte]

bonjour

pour trouver la position de la courbe C par rapport à sa tangente T
le prof a dit d'étudier le signe de f(x)-t(x),
pourrait-on utiliser le signe de f "(x) ?

merci

[fonfon]

salut,

il faut bien etudier le signe de f(x)-t(x) n'utilise pas f''(x)
c'est quoi ta fonction f et l'equation de ta tangente ?

[linotte]

courbe d'équation c(x)=cos(x)

tangente d'équation t(x)=-sin(x0)*(x-x0)+cos(x0)
pour x0=pi/2, t(x)=-x+pi/2

donc c(x)-t(x)=cos(x)+x-pi/2

c'est ça ?

[fonfon]

oui, c'est bien ça

[linotte]

ok merci

et avec la dérivée seconde, pourquoi n'est-ce pas possible ?

quand f "(x) change de signe en passant par 0,
la courbe passe d'un côté de la tangente à l'autre,
alors n'est-elle pas positive d'un côté et négative de l'autre ?

excusez-moi d'insister, mais j'aimerais comprendre

[fonfon]

re,

ça ne marcheras pas tout le temps car c'est vrai qu'ici on a f(x)-t(x)=cos(x)+x-pi/2 normalement c'est l'etude du signe de f(x)-t(x)

si on appelle h(x)=cos(x)+x-pi/2et qu'on cherche son signe on doit dérivée
donc
h'(x)=1-sin(x)
h''(x)=-cos(x)=f''(x)

or h''(x)<0 pour x0 pour x>0 et on a h''(pi/2)=0 donc h'(x) est decroissante pour xpi/2 or h''(pi/2)=0 donc x=pi/2 est un minimum donc h'(x)>0 pour tout x

donc h(x) est croissante et h(pi/2)=0 donc
pour xpour x>pi/2 h(x)>0 la courbe est au dessus de la tangente

[linotte]

C'est bien le résultat que j'ai trouvé en étudiant le signe de c(x)-t(x).

Donc si j'ai bien compris, ici on aboutit à la même chose en étudiant le signe de c"(x) autour de x0, mais que cette méthode-là n'est pas toujours utilisable.

Merci fonfon