Polynôme complexe ...

[TdutermS]

Bonjour, après de multiples essais, j'ai beau faire, je n'arrive pas à résoudre mon DM, surtout qu'on a encore jamais vu les polynômes en cours en T S, et surtout j'ai zyeuté le sommaire et l'index de mon bouquin de maths, y'a RIEN sur les polynômes. Après quelques recherches sur Wikipedia (trop compliqué) je rends les armes, je m'inscris sur ce forum et voilà l'exercice : ...

Soit P un polynôme. On appelle racine de P toute solution de l'équation P(z) = 0.
On admet les théorèmes suivants :
1) Si a (d'ailleurs le "a" est bizarre, il est à peine prolongé en haut à droite de la lettre et en bas à droite de la lettre, 'fin bon c'est pas si important) est une racine réelle de P, alors on peut factoriser P(z) par (z - a).
Cela signifie qu'il existe un polynôme Q à coefficients réels tels que :
P(z) = (z - a) * Q(z) pour tout complexe z.

2) Si a est une racine complexe non réelle de P, alors a (avec la barre au-dessus, donc a "conjugué") aussi et on peut factoriser P (z "conjugué") par (z - a)(z - a "conjugué"). Il existe alors un polynôme Q à coefficients réels tel que :
P(z) = (z - a)(z - a "conjugué") * Q(z) pour tout complexe z.

3) Un polynôme P de degré n admet n racines complexes et peut donc se factoriser en produit de n facteurs de degré 1.


Questions :
a) Montrer que si les coefficients de P sont réels alors P(z) (le tout conjugué) = P(z) (avec juste "z" en conjugué) pour tout complexe z.
En déduire que si a est une racine complexe de P, alors son conjugué a "conjugué" est aussi racine de P.

b) Dans la propriété 3, si P a pour degré n, quel sera le degré de Q ?

Vous l'aurez compris, quand j'écris "conjugué", ça veut dire que le nombre juste avant a une "petite barre" au-dessus de lui.
Voilà, tout ça est long et fastidieux mais imaginez que ce n'est qu'une petite partie de mon DM à rendre mardi ...

[Carpate]

Bonjour, après de multiples essais, j'ai beau faire, je n'arrive pas à résoudre mon DM, surtout qu'on a encore jamais vu les polynômes en cours en T S, et surtout j'ai zyeuté le sommaire et l'index de mon bouquin de maths, y'a RIEN sur les polynômes. Après quelques recherches sur Wikipedia (trop compliqué) je rends les armes, je m'inscris sur ce forum et voilà l'exercice : ...

Soit P un polynôme. On appelle racine de P toute solution de l'équation P(z) = 0.
On admet les théorèmes suivants :
1) Si a (d'ailleurs le "a" est bizarre, il est à peine prolongé en haut à droite de la lettre et en bas à droite de la lettre, 'fin bon c'est pas si important) est une racine réelle de P, alors on peut factoriser P(z) par (z - a).
Cela signifie qu'il existe un polynôme Q à coefficients réels tels que :
P(z) = (z - a) * Q(z) pour tout complexe z

2) Si a est une racine complexe non réelle de P, alors a (avec la barre au-dessus, donc a "conjugué") aussi et on peut factoriser P (z "conjugué") par (z - a)(z - a "conjugué"). Il existe alors un polynôme Q à coefficients réels tel que :
P(z) = (z - a)(z - a "conjugué") * Q(z) pour tout complexe z.

3) Un polynôme P de degré n admet n racines complexes et peut donc se factoriser en produit de n facteurs de degré 1.


Questions :
a) Montrer que si les coefficients de P sont réels alors P(z) (le tout conjugué) = P(z) (avec juste "z" en conjugué) pour tout complexe z.
En déduire que si a est une racine complexe de P, alors son conjugué a "conjugué" est aussi racine de P.

b) Dans la propriété 3, si P a pour degré n, quel sera le degré de Q ?

Vous l'aurez compris, quand j'écris "conjugué", ça veut dire que le nombre juste avant a une "petite barre" au-dessus de lui.
Voilà, tout ça est long et fastidieux mais imaginez que ce n'est qu'une petite partie de mon DM à rendre mardi ...

Est-ce :
a) Montrer que si les coefficients de P sont réels alors = pour tout complexe z.
En déduire que si a est une racine complexe de P, alors est aussi racine de P.

b) Dans la propriété 3, si P a pour degré n, quel sera le degré de Q ?




un réel est son propre conjugué


donc
Si
Or donc ...

[TdutermS]

Bonjour Carpate, merci beaucoup de votre réponse.
Pour les questions, oui c'est ça que je voulais écrire à propos des nombres conjugués, je savais juste pas comment faire pour l'écrire sur ce forum.
Après avoir lu et relu la réponse, je pense que c'est ce que je vais écrire pour la question a. Une idée pour les autres questions ?
La b, ça doit pas être bien compliqué, je pensais que le degré cherché est 1. Vous en pensez quoi ?