Résolution équation polynôme, nombres complexe

[Françoisdesantilles]

Bonjour à tous, j'ai tenter de faire cet exercice mais j'ai un doute concernant mes réponses et ma rédaction, quelqu'un pouvait corrigé ou me conseiller svp :

https://ibb.co/0J7dQ4Z

[Françoisdesantilles]

Bonjour à tous, j'ai tenter de faire cet exercice mais j'ai un doute concernant mes réponses et ma rédaction, quelqu'un pouvait corrigé ou me conseiller svp :

Voici mes réponses : https://ibb.co/8rdnbpG

[mathelot]

Bonsoir,
question 1
On rappelle la formule de somme des termes en progression géométrique de raison q et de 1er terme 1:

Pour :



d'où

donc z racine de ssi

Posons
avec r>0
Les racines vérifient:

pour
pour k=1,2

d'où les racines:

[Pisigma]

Bonjour,

autre piste qui fait appel à la factorisation

de la forme

d'où et

ensuite passer à la forme exponentielle

[mathelot]

Question 3

les lignes suivantes sont équivalentes:

racine de

racine de

ou

ou




ou



pour k=0,1,2,3

Soit 8 racines.

[capitaine nuggets]

Salut,

1. Tu as bon jusqu'à

et .

En revanche tes formes exponentielles sont incorrectes.
Commence par calculer les modules de et , puis deux arguments et tels que

et

Remarque : Les solutions et étant conjuguées (puisque ) on aura nécessairement .

2. Il suffit juste de mettre en évidence que est solution de . Pour cela tu supposes comme tu l'as fait que , puis tu montres que (la question n'est pas difficile, il faut juste bien la rédiger).

3. On a montré lors de la première question que l'ensemble des solutions dans de l'équation est . Pour en déduire l'ensemble des solutions de cela revient à résoudre deux équations , et . Pour résoudre ce type d'équation on utilise la forme exponentielle de : on pose , avec et . Ce faisant si a pour module et un argument est , alors le module de est et un argument de est . Par conséquent dire que revient à dire que et ont même module et même argument (à un multiple de près). Je te laisse poursuivre.

4. Voir le théorème de d'Alembert-Gauss.

[Françoisdesantilles]

Bonsoir,
question 1
On rappelle la formule de somme des termes en progression géométrique de raison q et de 1er terme 1:

Pour :



d'où

donc z racine de ssi

Posons
avec r>0
Les racines vérifient:

pour
pour k=1,2

d'où les racines:

Bonjour et merci pour ton aide, je me suis trompé, on a effectivement du pi/3 et nous somme dans le 2ème et 3ème cadrant je suis d'accord pour les formes exponentielle!
Je n'avais pas fais le lien avec les suites géo mais en maths tout est lié!

[Françoisdesantilles]

Bonjour,

autre piste qui fait appel à la factorisation

de la forme

d'où et

ensuite passer à la forme exponentielle

Ah ouai, tu as plusieurs corde à ton arc!
J'espère que je deviendrai aussi fort en factorisation je vais m'entrainé, l'air des rien des choses basiques peuvent beaucoup aidé

[mathelot]

re,
soit

On somme les termes d'une progression géométrique de raison q:



d'où
(1)


On appelle racine n-ième de l'unité tout complexe z tel que . Ces racines de l'unité
sont de module 1.
d'après (1) les racines de P sont les racines 12-ème de l'unité sauf les racines
quatrièmes de l'unité, il vient donc:
si d'où
et

soit
pour
Les racines 4èmes à exclure sont , soit pour k multiple de 3.

[mathelot]

J'espère que je deviendrai aussi fort en factorisation je vais m'entrainer, l'air de rien des choses basiques peuvent beaucoup aider

Si tu veux avoir les valeurs algébriques des solutions, le polynôme P se factorise à la main en écrivant:

[Françoisdesantilles]

Ah bin oui il me manquait juste le -X^4 merci!

[Françoisdesantilles]

re,
soit

On somme les termes d'une progression géométrique de raison q:



d'où
(1)


On appelle racine n-ième de l'unité tout complexe z tel que . Ces racines de l'unité
sont de module 1.
d'après (1) les racines de P sont les racines 12-ème de l'unité sauf les racines
quatrièmes de l'unité, il vient donc:
si d'où
et

soit
pour
Les racines 4èmes à exclure sont , soit pour k multiple de 3.

Ok j'ai tout compris, il fallait reconnaitre la somme des termes d'une suite géométrique ici, je vais refaire la question 2 . merci

[Françoisdesantilles]

Question 2, montrer que si z est *une racine* de P, alors z^4 satisfait l'équation précédente( satisfaire ça veut

dire que z^4 est aussi racine j'imagine, la phrase me pose problème).

Néanmoins je suis en master enseignement donc voici ma rédaction pour la question 2.

On suppose que P(z) = 0 ce qui implique que z^8+z^4+1= 0

Or nous savons que z^8+z^4+1 = (z^4)²+z^4+1 = 0

Par conséquent z^4 est aussi racine de z²+z+1= 0

[Pisigma]

en partant de



tu peux aussi obtenir les réponses finales, uniquement en utilisant la factorisation; mais ce n'est peut-être pas ce que tu recherches

[Françoisdesantilles]

ça me convient parfaitement, c'est bien de connaitre différentes méthodes, merci

[mathelot]

En factorisant à la main:

[Pisigma]

En partant de

, on peut écrire, sauf erreur de recopie





reste à développer les expressions de la forme et passer aux formes exponentielles

[Françoisdesantilles]

Question 3

les lignes suivantes sont équivalentes:

racine de

racine de

ou

ou




ou



pour k=0,1,2,3

Soit 8 racines.

Hello, ici nous avons 8 racines car c'est un polynôme de degré 8 c'est ça?

[Pisigma]

oui

[Françoisdesantilles]

oui

Merci pour votre aide, sachez que si je n'ai pas regarder la réponse c'est un oubli, mais je suis conscient que votre temps et votre aide est très précieuse, merci encore