[spé] PGCD

[benekire2]

bon, en fait , E est toujours infini et recouvre presque N, tu peut montrer qu'a partir d'un entier N , tout les entiers qui lui sont supérieurs sont dans E.

[Anonyme]

Mince alors... Je me suis dit ça puis ensuite : "nan, ça peut pas être ça, ça doit être plus dur" :triste:

[Anonyme]

Si a = 1 ou b = 1, l'ensemble E={ua+bv(u,v)€N²} est fait de telle sorte que N\{E} soit un ensemble vide. :)
Je pense au fait que a et b soient premiers entre eux.
Mais dans ce cas-là, il faudrait démontrer que ua+vb puisse désigner n'importe quel nombre entier. (si ça n'est pas le cas, l'ensemble des premiers est au moins une partie de N\{E} et ainsi cet ensemble est infini).

Peut-être que... Si ua+vb = k avec k premier, alors PGCD (u,v) = 1 ou PGCD (u,v) = k ; et ainsi, pour tout entier premier k il existe une décomposition telle que k = ua+vb, c'est-à-dire que tout entier premier peut être compris dans l'ensemble E ?

A partir de ce moment-là, on peut montrer qu'à partir d'un certain n€N (faut-il encore savoir comment le calculer), tous les nombres sont compris dans E donc N\{E} est fini. :)
Mais pour cela, il faut poser une condition sur a et b, je suppose ? a et b premiers entre eux, est-ce valable ? (c'est que, si (a,b) = (2,4) ; E ne génère que des entiers pairs et ainsi l'ensemble des entiers impairs, qui est infini, est au moins une partie de N\{E}...)