Pgcd(a,b)=pgcd(a,b-a)=pgcd(a,b-a)

[rifly01]

Bonjour,


Je suis en plein révision, et je me suis arrêté sur un truc.


pgcd(a,b)=pgcd(a,b-a) comment le montrer ?

Ce qui vient à l'esprit :

soit d=pgcd(a,b) donc d divise a et b et d divise toute combinaison linéaire de a et b donc divise b-a.

soit d'=pgcd(a,b-a) donc d' divise a et b-a et d' divise toute combianison linéaire de a et b-a.

d et d' divisent a et b-a donc d=d'


Voila ma démo merci de signaler les éventuelles erreures

[mln]

Ton raisonnement est bon, tu as montré tout ce qu'il fallait mais ta conclusion est trop rapide. Je reprends ta démo:

Soit d=pgcd(a,b) et d'=pgcd(a,b-a)

d=pgcd(a,b) donc d divise a et b et d divise toute combinaison linéaire de a et b donc divise b-a donc d divise pgcd(a,b-a) donc d divise d'.

d'=pgcd(a,b-a) donc d' divise a et b-a et d' divise toute combinaison linéaire de a et b-a donc d' divise b donc pgcd(a,b) donc d' divise d.

Comme d divise d' et d' divise d et comme d et d' sont positifs alors d = d'

[Adam*]

salut!
on peut même démontrer que a/\b=a/\(b-ac) qlq soit c dans Z, cette propriété est très importante.

[rifly01]

Salut,


Merci à vous,

Adam c'est quoi ce symbole /\ ? et merci de bien m'expliquer la prpriété qui tu veux appliquer ca m'intéresse !lol

[Adam*]

salut!
le symbole /\ veut dire pgdc (d'ailleur tout comme \/ veut dire ppmc) !
la propriété est donc pgdc(a,b)=pgdc(a,b-ac) c dans Z!

[Adam*]

Re:
et pour le démontrer tu peux considérer d un diviseur commun de a et b et démontrer qu'il divise b-ac
puis considérer d' un diviseur commun de a et b-ac et montrer qu'il divise b!
je croix maintenant que c'est clair et facile!

[rifly01]

Bonjour,

J'ai un petit problème, et j'aimerai bien avoir votre aide si c'est possible.

Voici l'enoncé :

1 - vérifier que 111 est divisible par 3.
2 - n désigne un entier naturel supérieur à 3.
est le nombre dont l'écriture décimale est constituée uniquement de 1 :

[center] [/center]


2a - Démontrer que
2b - Vérifier que pour tout réel a et b, :
2c - Démontrer que est divisible par
2d - En déduire que l'entier naturel est divisible par l'entier naturel
2e - Démontrer que
2f - Démontrer que est divisible par
3 -Démontrer qu'il existe une infinité d'entiers naturels dont l'écriture décimale est constituée de exactement de n chiffres 1 et qui sont divisible par n.


[center] ---------- [/center]

1 -
a - , ,

[CENTER]Donc [/CENTER]

b -
[CENTER]Donc [/CENTER]

c -



[CENTER]
Donc divise [/CENTER]

d - et

donc

[CENTER]Donc [/CENTER]


e - Donc or

[CENTER]Donc [/center]

et

[CENTER][/CENTER]

f - On veut montrer que
donc on peut déjà écrire :
Donc
Or

[CENTER]Donc [/CENTER]

3 - je n'ai pas compris la question.

Merci de me corriger les éventuelles erreurs et me dire si ce que j'ai fait est bien ou nul

Merci