Demonstration: PGCD(a,b)=PGCD(bc-a,b)

[skyskiper]

Salut à tous! J'suis en terminal S et j'ai un DM de spécialité maths à faire ou il ya une bonne demonstration:
PGCD(a,b)=PGCD(bc-a,b)...
Je sais que PGCD(a,b)=PGCD(bc+a,b) mais ça m'avance pas vraiment...
Quelqu'un serait-il suceptible de m'aider?
Merci d'avance au courageux qui le voubra bien.
++

PS: a,b et c sont des entiers naturels non nul.

[Chimerade]

Salut à tous! J'suis en terminal S et j'ai un DM de spécialité maths à faire ou il ya une bonne demonstration:
PGCD(a,b)=PGCD(bc-a,b)...
Je sais que PGCD(a,b)=PGCD(bc+a,b) mais ça m'avance pas vraiment...
Quelqu'un serait-il suceptible de m'aider?
Merci d'avance au courageux qui le voubra bien.
++

PS: a,b et c sont des entiers naturels non nul.

Si un nombre divise bc+a,b et a, il divise forcément bc+a-2a=bc-a !

[skyskiper]

Si un nombre divise bc+a,b et a, il divise forcément bc-a-2a=bc-a !

Donc si je mets ceci dans mon DM, ce sera bon?
"On sait que PGCD(a,b)=PGCD(a+bc,b)
or si une nombre divise a, b et a+bc alors il divise 2a et a+bc-2a=bc-a
donc si d est le plus grand diviseur commun de a et b et de bc+a et b alors il est aussi le plus grand diviseur commun de bc+a-2a=bc-a et b.
D'où PGCD(a,b)=PGCD(bc-a,b)"

Mais il y'a un petit problème: en utilisant cette methode, on peut très bien démontrer que PGCD(a,b)=PGCD(bc-x.a) avec x appartenant au naturel, est-ce vraiment le cas? Si oui, comment ça se fait que cette propriété n'est pas dans mon cours...? Byzard...

[skyskiper]

Personne ne peut me répondre?

[Chimerade]

en utilisant cette methode, on peut très bien démontrer que PGCD(a,b)=PGCD(bc-x.a)

Une seconde, j'ai bien le droit de regarder un peu la télé non ?

Bon, je répondrai quand j'aurai compris la question ! Que signifie PGCD(bc-x.a) ?

[skyskiper]

Une seconde, j'ai bien le droit de regarder un peu la télé non ?

Bon, je répondrai quand j'aurai compris la question ! Que signifie PGCD(bc-x.a) ?

Escuse moi (pour la télé, lol)
On sait que si d divise a, b et bc+a alors d divise ya avec y un entier naturel et ainsi d divise bc+a-ya=bc-xa (a-ya=xa). (x est donc un entier naturel)
Voilà, à quoi correspond le x.
Donc en procedant ainsi, on peut montrer que PGCD(a,b)=PGCD(bc-xa,b), or cette propriété n'est pas dans mon cours, et c'est ça qui me fait douter...
++

[MooMooBloo]

ton x, ce n'est pas nimporte quel entier naturel, c un multiple de a, et ca change tout...

[skyskiper]

x n'est pas forcement un multiple de a. Démonstration:
Si d divise a alors on peut écrire a=kd (avec k un entier naturel).
Donc on peut écrire x.a=x.k.d donc x.a est divisible par d quelques soit x (x étant un entier naturel).
Voilà....
Mais ceci ne résout toujours pas mon problème...
Merci quand même!

[skyskiper]

Chimerade: dès que tu peux répondre, fait le stp, j'vais bientôt crisé sur ce PGCD à la c**! lol
++

[Chimerade]

Escuse moi (pour la télé, lol)
On sait que si d divise a, b et bc+a alors d divise ya avec y un entier naturel et ainsi d divise bc+a-ya=bc-xa (a-ya=xa). (x est donc un entier naturel)
Voilà, à quoi correspond le x.
Donc en procedant ainsi, on peut montrer que PGCD(a,b)=PGCD(bc-xa,b), or cette propriété n'est pas dans mon cours, et c'est ça qui me fait douter...
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Tout ce qui n'est pas dans ton cours n'est pas faux ! On ne peut pas tout mettre dans ton cours ; par contre tu dois y trouver des méthodes de calcul qui peuvent te servir pour aborder des questions qui n'y ont pas été traitées.

Sache que tout diviseur de a et de b est diviseur de xa+yb quels que soient x et y entier relatif. Et c'est très facile de le démontrer :
Soit z un diviseur de a et de b : alors il existe a' et b' entiers tels que :
a = z a'
b = z b'
Si maintenant on analyse xa+yb, on peut écrire :
xa+yb=xza'+yzb'=z*(xa'+zb')
C'est pas plus dur que ça !
Mais attention, cela ne veut pas dire que tout diviseur de xa+yb soit diviseur de a. Il sufit de choisir y=1 et x=0 pour s'en convaincre. Donc attention à la réciproque.

J'ai dit :
"Si un nombre divise bc+a,b et a, il divise forcément bc+a-2a=bc-a"
pour t'aider ; je n'ai pas fait la réciproque car je te l'ai laissée.
En effet si d divise a et b alors a=da', b=db', bc+a = db'c+da'=d*(b'c+a') [d divise bc+a] bc-a=db'c-da'=d*(b'c-a') [d divise bc-a]

A toi de faire la réciproque ! Pour que le PGCD de (X,Y) soit égal au PGCD de (Z,T) il faut (et il suffit) que tous les diviseurs du premier couple soient diviseurs du deuxième et RECIPROQUEMENT : ils ont les mêmes diviseurs, donc ils ont le même PLUS GRAND DIVISEUR.

Tu noteras que je me suis bien gardé de dire que le PGCD de (bc+a,a et b) est égal au PGCD de bc-a - parce que je ne l'avais pas démontré. Je me suis contenté de dire que tout diviseur de a et b était diviseur de bc-a !

[skyskiper]

Tout ce qui n'est pas dans ton cours n'est pas faux ! On ne peut pas tout mettre dans ton cours ; par contre tu dois y trouver des méthodes de calcul qui peuvent te servir pour aborder des questions qui n'y ont pas été traitées.

Sache que tout diviseur de a et de b est diviseur de xa+yb quels que soient x et y entier relatif. Et c'est très facile de le démontrer :
Soit z un diviseur de a et de b : alors il existe a' et b' entiers tels que :
a = z a'
b = z b'
Si maintenant on analyse xa+yb, on peut écrire :
xa+yb=xza'+yzb'=z*(xa'+zb')
C'est pas plus dur que ça !
Mais attention, cela ne veut pas dire que tout diviseur de xa+yb soit diviseur de a. Il sufit de choisir y=1 et x=0 pour s'en convaincre. Donc attention à la réciproque.

J'ai dit :
"Si un nombre divise bc+a,b et a, il divise forcément bc+a-2a=bc-a"
pour t'aider ; je n'ai pas fait la réciproque car je te l'ai laissée.
En effet si d divise a et b alors a=da', b=db', bc+a = db'c+da'=d*(b'c+a') [d divise bc+a] bc-a=db'c-da'=d*(b'c-a') [d divise bc-a]

A toi de faire la réciproque ! Pour que le PGCD de (X,Y) soit égal au PGCD de (Z,T) il faut (et il suffit) que tous les diviseurs du premier couple soient diviseurs du deuxième et RECIPROQUEMENT : ils ont les mêmes diviseurs, donc ils ont le même PLUS GRAND DIVISEUR.

Tu noteras que je me suis bien gardé de dire que le PGCD de (bc+a,a et b) est égal au PGCD de bc-a - parce que je ne l'avais pas démontré. Je me suis contenté de dire que tout diviseur de a et b était diviseur de bc-a !

Ok merci beaucoup pour ton aide et ta patience! C'est rare les gens comme toi! :ptdr:
++

(Bac +7! Et bein.... lol)