[TS spé maths] PGCD

par **JALeX** » 04 Oct 2006, 18:54

Bonjour à tous,
Voila un problème qui me pose bien des soucis, alors ce serait sympa de m'aider et de me donner des pistes ! :we:

Problème :
Pour tout entier naturel n, supérieur ou égal à 5, on considère les nombres:
a=n^3 -n²-12n ET b=2n²-7n-4

1/ Démontrez après factorisation que a et b sont des entiers naturels divisibles par n-4
->Je n'arrive pas à trouver une bonne factorisation qui me permettrait d'isoler (n-4)

2/On pose a=2n+1 et b=n+3. d est le PGCG de a et b.
a/Trouvez une relation entre a et b indépendante de n
b/Démontrer que d est un diviseur de 5
c/Démontrez que a et b sont multiples de 5 ssi (n-2) est multiple de 5

3/Démontrez que (2n+1) et n sont premier entre eux.

4/
a/Déterminez suiva,t les valeurs de n et en fonction de n, le PGCD de a et b.
b/Vérifiez les résultats obtenus dans les cas particuliers n=11 et n=12

Donc voila, je bloque déja sur la question 1, merci de m'aider

par **fonfon** » 04 Oct 2006, 19:01

salut,

en utilisant le discriminant?

par **matteo182** » 04 Oct 2006, 19:06

Marrant c'est l'exo que j'ai présenté à l'oral de mon Capes !
Pour la factorisation, effectue la division euclidienne des polynomes par (n-4).
Ensuite a-2b devrait faire l'affaire. Puis il doit y avoir tu Thm de Gauss pour d diviseur de 5.

par **JALeX** » 04 Oct 2006, 19:06

Hum, alors je te suis pas,
par exemple je prend a = n^3-n²-12n

je peux factoriser a = n(n²-n-12)

Mais parcontre après je vois pas trop où je peux me servir du discriminant, pour savoir quand s'annule le polynome?

:briques:

par **fonfon** » 04 Oct 2006, 19:14

pour la factorisation moi je te parles

car moi je trouve a=n(n-4)(n+3) et b=(n-4)(2n+1)

puis apres pour la 2eme partie utilises ce que t'a dit matteo182

edit:merci banch c'etait une erreur de frappe

par **BancH** » 04 Oct 2006, 19:29

On a

donc on aura

On a

donc on aura

On a

donc on aura

avec

On a

donc

=>

et

Et pas

par **JALeX** » 04 Oct 2006, 19:40

Enfait je comprend vos résultats, mais je pense que je n'y arriverais jamais de moi même..

En tout cas merci, je vais continuer ;)

par **JALeX** » 04 Oct 2006, 20:01

Je bloque sur la question 2/ b/
Pour démontrer que d est un diviseur de 5.

d est le PGCD de a et de b.
juste avant j'ai trouver a-2b=-5

Mais j'arrive pas à mettre en relation .. :o

par **Zebulon** » 04 Oct 2006, 20:20

Bonsoir,
si d est le pgcd de a et de b, alors d divise a et d divise b. d est-il un diviseur de a-2b?

par **BancH** » 04 Oct 2006, 20:21

Tu peux utiliser la congruence:

soit

le

de

et de

, alors:

est premier =>

par **JALeX** » 04 Oct 2006, 20:35

J'ai pas encore vu les congruences,
mais la première solution me va très bien c'est vrai que c'est assez facile enfait..

Parcontre pour le 2/ c/
J'arrive pas à me lancer dans la demonstration de l'équivalence..

Une piste?

par **BancH** » 04 Oct 2006, 20:42

est divisible par

si

Donc

est divisible par

si

est multiple de

par **JALeX** » 04 Oct 2006, 20:45

Hum, j'ai juste pas compris ta première ligne :

"2n+1 est divisible par 5 si n=2+5k"
tu peux m'expliquer?

edit: et aussi, faut prendre en compte b aussi, cad n+3

par **BancH** » 04 Oct 2006, 20:47

Tu résouds de tête

,

et si tu ajoute un multiple de

à un autre multiple de

alors le résultat sera toujours un multiple de

par **matteo182** » 04 Oct 2006, 20:49

Re,
Pour montrer que " a et b sont multiples de 5 ssi (n-2) est multiple de 5 " , il faut montrer :
1. Si a et b sont multiples de 5 Alors (n-2) est multiple de 5.

2. Si (n-2) est multiple de 5 Alors a et b sont multiples de 5.

Pour 1. Supposes a et b multiples de 5.
Utilise le fait que b est multiple de 5, donc n+3 est multiple de 5 ( puisque b=n+3) et donc n+3-5 est aussi multiple de 5, donc finalement n-2 est multiple de 5.

De meme montre 2.

La question 3 est assez simple (pense au pgcd).

Ensuite ca se corce.

par **JALeX** » 04 Oct 2006, 21:00

Ok, j'ai réussi pour montrer l'équivalence :we:

En revanche pour le deux nombres premiers entre eux..
Et le PGCD je vois pas comment l'appliquer..

Donnez moi une piste..

Merci

par **matteo182** » 04 Oct 2006, 21:06

SI on considère la division euclidienne de 2 entiers a et b, on a : a=bq+r
On a également la relation : pgcd(a,b)=pgcd(b,r)
Ici :

Tu peux finir maintenant.

par **JALeX** » 04 Oct 2006, 21:15

Désolé je te suis pas..
Peut tu m'expliquer un peu plus..

Ce : 2n+1=(2n) + 1
Ne me lance pas..

par **matteo182** » 04 Oct 2006, 21:17

C'est le résultat de la division euclienne de 2n+1 par n.

par **JALeX** » 04 Oct 2006, 21:38

Ok c'est bon j'ai trouvé pour le 3/

Parcontre le 4/ en effet ca se corse, parceque le pgcd de a et de b en fonction de n..

déja c'est chaud d'exprimer une division euclidienne entre les deux..
Et puis ca doit varier selon les valeurs de n aussi..

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