Pgcd Et Ppcm

[titiche]

bonsoir a tous,
voila j'ai un exo pour demain a faire en spé maths et je n'y arrive pas ... pourriez vous m'aider svp? merci d'avance :
voici l'énoncé :
d désigne le PGCD des entiers naturels non nuls a et b.
m désigne le PPCM de ces entiers;
a'=a/d b'=b/d
1.On cherche tous les couples (a,b) d'entiers naturels vérifiant le système
ba²+b² = 801
m= 120
a) montrer que d est un diviseur commun a 801 et 120. En déduire les valeurs possibles de d.
b) exprimer (a+b)² en fct de m et de d. Determiner alors les couples (a,b).
2.on cherche ts les couples (a,b) d'entiers naturels vérifiant le système
a2m + 3d =78
a) montrer que 2a'b' + 3 est un diviseur impair de 78 au moins egal a 5.
b) determiner les couples (a,b)
voila.. si qq pouvait m'aider a resoudre ce probleme... c'est pr demain merci d'avance a tous.

[abcd22]

d désigne le PGCD des entiers naturels non nuls a et b.
m désigne le PPCM de ces entiers;
a'=a/d b'=b/d
1.On cherche tous les couples (a,b) d'entiers naturels vérifiant le système
b<a
a²+b² = 801
m= 120
a) montrer que d est un diviseur commun a 801 et 120. En déduire les valeurs possibles de d.

d divise a et b, donc il divise aussi toute combinaison linéaire de a et b, et le ppcm de a et b.
Pour trouver les valeurs possibles de d il suffit de décomposer 801 et 120 en éléments simples et regarder les diviseurs communs.

b) exprimer (a+b)² en fct de m et de d. Determiner alors les couples (a,b).

On a supposé que a²+b² = 801, et on a ab=md...
On a aussi supposé m=120, donc pour chacune des valeurs possibles de d, on peut calculer ce que doit valoir (a+b)².
- si ce n'est pas un carré parfait, il n'y a pas de solutions pour cette valeur de d.
- si c'est un carré parfait, on connaît a+b, et aussi ab=md=120d, donc on peut en déduire a et b comme racines d'une équation du second degré (sans oublier a<b).

[abcd22]

2.on cherche ts les couples (a,b) d'entiers naturels vérifiant le système
a<b
2m + 3d =78
a) montrer que 2a'b' + 3 est un diviseur impair de 78 au moins egal a 5.

Impair et au moins égal à 5 ça pose pas de problème je suppose.
Pour montrer que 2a'b' + 3 divise 78, on a ab=md, donc a'b'd²=md, donc m=a'b'd, et on a aussi 2m + 3d =78, donc en remplaçant...

b) determiner les couples (a,b)

On cherche tous les diviseurs impairs de 78 au moins égaux à 5 (autrement dit, les valeurs possibles pour 2a'b' + 3). Pour chacun de ces diviseurs, on trouve des valeurs pour a'b' donc pour a' et b' (a'<b'), et comme (2a'b' + 3)d = 78, on a aussi la valeur de d ! donc on a a=a'd et b=b'd.