PGCD et PPCM

[GeorgeB]

Bonjour, j'ai une question concernant le PGCD et le PPCM ( en pleine révision)

On me donne d=PGCD(a;b) et m=PPCM(a;b)

On me demande de déterminé PGCD(a+b;m)

J'ai commencé par a=du b=dv et m=dk donc PGCD(a+b;m)=d PGCD(u+v;k) mais

Il me reste a montrer que PGCD(u+v;k)=1

Comment faire ?

Merci beaucoup encore !

[GeorgeB]

Ou alors montrer que PGCD(a+b;m) divise d ...

[GeorgeB]

Personne ne veut m'aider à ce que je voi :triste:

J'ai un autre problème :

Résoudre :
{PPCM(x;y)=240PGCD(x;y)
{PGCD(x;y)=y-x

Merci encore

[benekire2]

Faut dire que tu poste des millions de questions apparemment ...

Alors pour la dernière, comme je suis de passage, je veut bien t'avancer (notoirement) :

Une méthode "classique" consiste à poser d=PGCD(x,y) et à tout ramener avec des nombres premiers entre eux.

Alors d=PGCD(x,y) ==> x=dx' et y=dy' ==> d=y-x=d(y'-x') ==> y'-x'=1

dès lors PPCM(x,y)=dPPCM(x',y') ==> PPCM(x',y')=240 d'où x'y'=240 puisque PGCD(x',y')


Je te laisse finir ; parce que la fin est bien chiante :zen:

EDIT: N'oublie pas le sens réciproque.

[GeorgeB]

Merci beaucoup !!

Si quelqu'un pouvait m'expliquer pour la première ce serait fantastique !! :id:

[Ben314]

Salut (Re ?)
Lorsque d=PGCD(a;b) on a effectivement a=da' et b=db' (comme tu l'écrit sauf que je préfère a' et b'...) avec pgcd(a';b')=1.

Ensuite, je pense que, connaisant cela, tu devrait être capable d'exprimer m=PPCM(a;b) en fonction de d, a' et b' ce qui (évidement) sera bien utile pour montrer qu'un certain pgcd vaut 1.

[GeorgeB]

Salut ben314

J'ai remarqué que PPCM(a,b)=a'b'd et donc je suis amené a prouver que :

PGCD(a'+b';a'b')=1 et ça devient très problématique ... je ne vois plus comment faire ensuite.

[Ben314]

Supposons qu'un nombre premier p divise à la fois a'+b' et a'b'.
Alors, comme il divise a'b' il doit diviser a' ou b'.
Comme ça ne change rien (a' et b' jouent le même rôle), on peut supposer qu'il divise a'.
Mézalors, p divise a' et aussi a'+b' (hypothése) donc ...

[GeorgeB]

Merci ben314 !!

Du coup p divise b' donc p est un diviseur commun, ça ne peut être que 1 !!