Petit blocage sur raisonnement par récurrence( terminale S)

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yam33
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Petit blocage sur raisonnement par récurrence( terminale S)

par yam33 » 12 Sep 2013, 14:24

Bonjour, ci joint l'énoncé:
On considère les suites (Un) et (Vn) définies par Uo=2 et pour tout n de N, U(n+1)= 5Un-3/Un+1 et
V(n)= Un-3/Un-1.
1) Conjecturer une formule explicite pour V(n)
Conjecture V(n)= 1/2^n . Suite géométrique de raison 1/2 et de premiers terme V1=-1/2.
2) En déduire une conjecture pour U(n)
C'est ici que je bloque pourtant j'ai déjà fait un exercice de ce type.
J'ai essayer par une égalité logique comme: (1/2^n)= V(n) soit (1/2^n)=( Un-3)/(Un-1).
3) La démontrer
Il suffira de démontrer cette conjecture par récurrence ( initialisation puis hérédité)


Merci de votre aide.



titine
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par titine » 12 Sep 2013, 15:05

Pour plus de clareté pourrais tu reprendre ton énoncé en mettant des parenthèses permettant de distinguer U(n+1) et U(n) + 1 et d'écrire correctement tes quotients.
Pour 2 puissance n utilise 2^n

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chan79
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par chan79 » 12 Sep 2013, 15:10

yam33 a écrit:Bonjour, ci joint l'énoncé:
On considère les suites (Un) et (Vn) définies par Uo=2 et pour tout n de N, Un+1= 5Un-3/Un+1 et
Vn= Un-3/Un-1.
1) Conjecturer une formule explicite pour Vn
Conjecture Vn= 1/2n (puissance n). Suite géométrique de raison 1/2 et de premiers terme V1=-1/2.
2) En déduire une conjecture pour Un
C'est ici que je bloque pourtant j'ai déjà fait un exercice de ce type.
J'ai essayer par une égalité logique comme: (1/2n)= Vn soit (1/2n)=( Un-3)/(Un-1).
3) La démontrer
Il suffira de démontrer cette conjecture par récurrence ( initialisation puis hérédité)


Merci de votre aide.

salut
donc

A partir de , tu exprimes en fonction de





etc

yam33
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par yam33 » 12 Sep 2013, 15:29

chan79 a écrit:salut
donc

A partir de , tu exprimes en fonction de





etc

En gros pour exprimer dans le cas général Un en fonction de Vn ( quand on cherche Un) on fait: Vn*son dénominateur= numérateur de Vn soit Vn(Un-1)=Un-3.

yam33
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par yam33 » 12 Sep 2013, 15:41

chan79 a écrit:salut
donc

A partir de , tu exprimes en fonction de





etc

soit U(n+1)((V(n+1)-1)=-3+V(n+1) ?

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chan79
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par chan79 » 12 Sep 2013, 16:16

yam33 a écrit:soit U(n+1)((V(n+1)-1)=-3+V(n+1) ?





et on remplace

yam33
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par yam33 » 13 Sep 2013, 12:14

chan79 a écrit:



et on remplace

Soit U(n)=((-7/3)n)-3/ ((-3/2)n)-1

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chan79
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par chan79 » 13 Sep 2013, 12:24

yam33 a écrit:Soit U(n)=((-7/3)n)-3/ ((-3/2)n)-1

On arrive à



ce qui montre que cette suite a comme limite 3

 

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