Permutation de chiffre et divisibilité

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Françoisdesantilles
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Permutation de chiffre et divisibilité

par Françoisdesantilles » 25 Déc 2022, 20:55

Bonjour, j'ai tenté de faire cet exercice avec des "formules simples" ,mais je n'ai pas tout compris :
On décide de former des nombres dans le système décimal en écrivant de gauche à droite 4 chiffres consécutifs dans l'ordre croissant, puis en permutant les 2 chiffres de gauche.
Ex : 5467
démontrer que tous les entiers obtenus sont divisibles par 11.

Je sais qu'il y a une vieille règle de divisibilité qui dit ceci : le nombre qui s'écrit abcdef... en décimal est divisible par 11 si et seulement si a-b+c-d+e-f+... est divisible par 11.
Dans mon cas 5-4+6-7=0 , or 0 est divisible par 0 donc ça marche.
Mais de manière général si 4= a, 5 =a+1 , 6 =a+2, 7=a+3
Et (a+1)-a+(a+2)-(a+3)=1+2+a-a-3=0 or 0 divisible par 11 donc tout nombre de cette forme sera divisible par 11.
Certain utilise les congruences ou des puissances de 10 mais je maitrise pas trop ça.
J'aurai voulu trouver un exercice similaire



 

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